高中数学 第二章 解三角形 2.1 正弦定理与余弦定理 2.1.1 正弦定理学案 北师大版必修5-北师大版高二必修5数学学案VIP专享

2.1.1 正弦定理一、学习目标 1.理解正弦定理的推理过程；2.掌握正弦定理的内容；3.能运用正弦定理解决一些简单的三角形问题。二、学法指导1.要注意定理的几种证法，自己能够发现通过探索、讨论研究，发现证明方法；2.体会向量是一种处理问题的工具三、课前预习1.在BA, ba,分别为中，已知ABC所对的边，则BABAbasin____sin___2.正弦定理：在三角形中，________________________________________________________即______________________=_______( )3.一般的，把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做____.4.正弦定理的证明方法有哪些?四、课堂探究探索 1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在 Rt ABC中 ， 设90C  ， 则 sinA=_______, sinB=________, sinC=_______即：探索 2 对于任意三角形，这个结论还成立吗？探索 3 这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设C 为最大角，若C 为直角，我们已经证得结论成立，如何证明C 为锐角、钝角时结论也成立？证法 1 若C 为锐角（图（1）），过点 A 作 ADBC于D ， 此 时 有 sinADBc， sinADCb， 所 以sinsincBbC， 即 sinsinbcBC． 同 理 可 得sinsinacAC，所以 sinsinsinabcABC．若C 为钝角（图（2）），过点 A 作 ADBC，交 BC 的延长线于 D ，此时也有sinADBc，且 sinsin(180)ADCCb ． 同 样 可 得sinsinsinabcABC．综上可知，结论成立．证法 2 利用三角形的面积转换，先作出三边上的高 AD 、 BE 、CF ，则sinADcB，sinBEaC，sinCFbA．所以 1111sinsinsin222ABCSabCacBbcA，每项同除以 12 abc 即得：sinsinsinabcABC．探索 4 充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法．我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？在 ABC中，有 BCBAAC�．设C为最大角，过点 A 作 ADBC于 D （图（3）），于是 BC ADBA ADAC AD�．设 AC�与 AD�的夹角为 ，则0 || || cos(90) || || cosBAADBACAD �，其中，当C为锐角或直角时，90C  ；当C为钝角时，90C  ．故可得sinsin0cBbC ，即 sinsinbcBC．同理可得 sinsinacAC．因此得证。五、数学...