4 函数的表示方法课堂导学三点剖析一、用适当方法表示函数及分段函数【例 1】 已知 f(x)=(1)求 f(1),f(-2),f(a2+1),f［f(0)］的值；（2）画出 f(x)的图象
思路分析：（1）先确定自变量的取值属于哪一段，再用该段的解析式求函数值
（2）分两段作函数的图象，每一段一般都先作出端点
解析：(1)f(1)=12+1=2,f(-2)=2×（-2）+1=-3，f(a2+1)=(a2+1)2+1=a4+2a2+2,f［f(0)］=f(1)=12+1=2
(2)f(x)的图象如下图所示
温馨提示(1)关键是理解分段函数的意义，即自变量在不同范围内取值时，相应的函数解析式不同
（2）f［g(x)］是 g(x)作为自变量执行“f”这个对应法则，求 f［f(x0)］的值应从里向外求
二、求函数解析式【例 2】 （1）已知 f(x)是二次函数，且满足 f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求 f(x)；（2）已知 f(+4）=x+8,求 f(x2)
思路分析：（1）可设出二次函数，根据已知条件，确定待定系数
（2）中应先求出f(x)，再求 f(x2)
解析：（1） f(x)是二次函数， 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
由 f(0)=1 得 c=1
由 f(x+1)-f(x)=2x,得a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x
左端展开整理得 2ax+(a+b)=2x
由恒等式原理知∴∴f(x)=x2-x+1
(2)设 t=+4
∴=t-4(t≥4)
由 f(+4)=x+8可得 f(t)=(t-4)2+8(t-4)=t2-16(t≥4）
∴f(x)=x2-16(x≥4）
∴f(x2)=x4-16(x≥2 或 x≤-2）
温馨提示 在（2）中求 f(x2)，千万不能直接代入 f(+4)=x+8，得 f(x2)=x2
