高中数学 第二章 平面向量 2.3 向量的坐标表示导学案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学学案

2.3 向量的坐标表示课堂导学三点剖析1.平面向量基本定理的理解与应用【例 1】已知 A（1，-2）、B（2，1）、C（3，2）和 D（-2，3），以、为一组基底来表示++.思路分析：本题主要考查向量的坐标表示、向量的坐标运算、平面向量基本定理以及待定系数法等知识.求解时首先由点 A、B、C、D 的坐标求得向量、、、、等的坐标，然后根据平面向量基本定理得到等式++=m·+n·，再列出关于 m、n 的方程组，进而解方程求出所表示的系数.解：=（1，3），=（2，4），=（-3，5），=（-4，2），=（-5，1），∴++=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8).根据平面向量基本定理，一定存在实数 m、n 使得++=m·+n·，∴（-12，8）=m(1,3)+n(2,4).也就是（-12，8）=（m+2n,3m+4n）.可得解得∴++=32·-22·.温馨提示 用一组基底 e1、e2表示平面内的任何一个向量 a，应首先根据平面向量基本定理写成：a=λ1e1+λ2e2,然后代入各向量的坐标，转化成方程组，解得待定系数 λ1、λ2，这就是常用的待定系数法.2．向量的直角坐标运算法则与对向量平行的应用【例 2】 平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).（1）若（a+kc）∥(2b-a).求实数 k 的值.（2）设 d=(x,y)满足（d-c）∥(a+b)且|d-c|=1.求 d.思路分析：（1）将 a、b、c 的坐标代入 a+kc和 2b-a 并分别求出其坐标，利用两向量共线的条件即可求得 k 值.（2）利用 d-c 与 a+b 共线与|d-c|=1 列出两个关于 x、y 的方程，解方程即可.解 ： （ 1 ） （ a+kc ） ∥ (2b-a), 又 a+kc=(3,2)+k(4,1)=(3,2)+(4k,k)=(3+4k,2+k),2b-a=2(-1,2)-(3,2)= (-2,4)-(3,2) =(-5,2).∴2×(3+4k)-(-5)(2+k)=0.∴k=.（2） d-c=(x,y)-(4,1)=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,∴解之得或∴d=(,)或（,）.温馨提示 向量的加减及实数与向量的积，两向量共线的等价条件、向量的模都可用于列方程求未知数的值.【例 3】平面内已知三个点 A（1，-2），B（7，0），C（-5，6）.求，，+，+.思路分析：本题主要涉及向量的坐标运算，代入相应的公式运算即可得.解： A(1,-2),B(7,0),C(-5,6),∴=(7-1,0+2)=(6,2),=(-5-1,6+2)=(-6,8),+=(6-6,2+8)=(0,10),+=(6,2)+(-6,8)=(6,2)+(-3,4)=(3,6)温馨提示 对于向量的起点、终点及向量所对应的三组坐标中，可知二求一.对于向量的坐标运算，均需正确掌握其运算法则.3.向量坐标形式的综合应用【例 4】 已知 A（-1，2），B（3，4）连结 A、B 并延...