2.3 向量的坐标表示典题精讲 例 1 如图 2-3-2，在平行四边形 ABCD 中，M、N 分别为 DC、BC 的中点，已知=c，=d，试用 c、d 表示和.图 2-3-2思路分析：本题要求用 c、d 表示和，所以可以将 c、d 看作基底，也就变成了用基底表示和两个向量.解：设=a，=b，由 M、N 分别为 DC、BC 的中点，得=b，=a.从△ABN 和△ADM 中，得 即=(2d-c)，=(2c-d). 绿色通道：从解答本题的过程来看，本题策略性较强：(1)为使问题表达简单，采用代换=a，=b；(2)为使问题降低难度，采用正难则反策略，即直接用 c、d 表示、困难，反过来改用、表示 c、d，然后将和看成是未知量，利用方程组解得和. 变式训练 如果 e1、e2是平面 α 内两个不共线的向量，那么下列说法错误的有( )①λe1+μe2 (λ、μ∈R)可以表示平面 α 内的所有向量② 对于平面 α 中的任一向量 a，使 a=λe1+μe2的实数 λ、μ 有无数多对③ 若向量 λ1e1+μ1e2与 λ2e1+μ2e2共线，则有且只有一个实数 λ，使 λ1 e1+μ1 e2=λ(λ2 e1+μ2 e2)④ 若实数 λ、μ 使 λe1+μe2=0，则 λ=μ=0A.①② B.②③ C.③④ D.②思路解析：由平面向量基本定理,知①④正确，而②错误.当 λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)，当 λ1=λ2=μ1=μ2 时，对任意实数 λ，均有 λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2).因此，③也是错误的.答案：B 例 2 已知向量 u=(x,y)与向量 v=(y,2y-x)的对应关系可用 v=f(u)表示.(1)求证：对于任意向量 a、b 及常数 m、n，f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)恒成立；(2)设 a=(1,1)，b=(1,0)，求向量 f(a)、f(b)的坐标;(3)求使 f(c)=(p,q)(p、q 为常数)的向量 c 的坐标.思路分析：本题用到向量的坐标表示，向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算等知识，代入相应的公式运算即可.解：(1)设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2).∴ f(ma+nb)=(ma2+nb2，2ma2+2nb2-ma1-nb1),mf(a)+nf(b)=m(a2，2a2-a1)+n(b2，2b2-b1)=(ma2+nb2，2ma2+2nb2-ma1-nb1).∴f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)恒成立.(2)f(a)=(1,2×1-1)=(1,1)，f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1).(3)设 c=(x,y)，则 f(c)=(y,2y-x)=(p,q).∴y=p,2y-x=q.∴x=2p-q，即向量 c=(2p-q,p). 绿色通道：本题是向量的坐标运算与函数知识相结合的问题，题目的难度并不大，主要考查向量的坐标运算和函数的基础知识，但却充分体现了坐标运算的代数性.为运用题设条件，必须将向量用坐标表示，...
