高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理学案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学学案

2．3 向量的坐标表示2．3.1 平面向量基本定理[学习目标] 1.通过研究一向量与两不共线向量之间的关系体会平面向量基本定理的含义，了解基底的含义.2.理解并掌握平面向量基本定理．[知识链接]1．如图所示，e1，e2是两个不共线的向量，试用 e1，e2表示向量AB，CD，EF，GH，HG，a.答 通过观察，可得：AB＝2e1＋3e2，CD＝－e1＋4e2，EF＝4e1－4e2，GH＝－2e1＋5e2，HG＝2e1－5e2，a＝－2e1.2．0 能不能作为基底？答 由于 0 与任何向量都是共线的，因此 0 不能作为基底．3．平面向量的基底唯一吗？答 不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面内所有向量的一组基底．[预习导引]1．平面向量基本定理(1)定理：如果 e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：把不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．正交分解：一个平面向量用一组基底 e1，e2表示成 a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量 a 的分解．当 e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量 a 的正交分解.要点一 平面向量基本定理的理解例 1 下列说法：① 一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面所有向量的基底；② 一个平面内有无数多对不共线的向量可作为该平面所有向量的基底；③ 零向量不可作为基底中的向量；④e1，e2是平面内所有向量的一组基底，若实数 λ1，λ2使 λ1e1＋λ2e2＝0，则 λ1＝λ2＝0；⑤e1与 e2是一组基底，则 λ1e1＋λ2e2不一定在平面内．其中正确的是________．(写出正确的所有序号)答案 ②③④解析 平面向量的基底不唯一，在同一平面内任何一组不共线向量都可以作为平面向量的一组基底．零向量可看成与任何向量平行，故零向量不能作为基底中的向量，故②③正确；④正确；⑤错，因为在平面内任一向量都可以表示为 λ1e1＋λ2e2的形式，故 λ1e1＋λ2e2表示的向量在平面内．规律方法 对平面向量基本定理的理解是解题的关键，因为零向量与任意向量共线，故不能作基底，λ1e1＋λ2e2＝0，在 e1与 e2不共线时，有 λ1＝λ2＝0.跟踪演练 1 给出下面四个命题：① 若 a∥b，则必存在唯一的实数 λ，使 b＝λa；② 若 λa＝μ a，则 λ＝μ(λ，μ∈R)；③ 若 e1和 e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么向量 e1＋e2和 e1－e2也能作为一组基底；④ 若 λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2(λ1...