高中数学 第二章 函数章末分层突破学案 北师大版必修1-北师大版高一必修1数学学案VIP专享

第二章 函数[自我校对]① 对应关系② 函数的值域③ 解析法④ 简单的幂函数⑤ 单调性的定义⑥ 函数的奇偶性⑦ 奇偶性的判定方法 函数的定义域1.已知函数解析式求其定义域，就是求使解析式有意义(分母不为零，偶次根式的被开方数非负等)的自变量的取值范围．2．已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，求函数 f[φ(x)]的定义域，可解不等式a≤φ(x)≤b 求得；如果已知函数 f[φ(x)]的定义域，可通过求函数 φ(x)的值域，求得函数 f(x)的定义域． (1)若函数 y＝的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是________．(2)已知函数 f(x)的定义域为[0,1]，则函数 f 的定义域为________．【精彩点拨】 (1)对任意 x∈R，都有 ax2＋4ax＋3≠0 成立，分 a＝0，a≠0 两种情况，a≠0 时，Δ<0 即可；(2)由 0≤x－1≤1 解出 x 的范围即为所求．【规范解答】 (1)依题意，x∈R，解析式有意义，即对任意 x∈R，都有 ax2＋4ax＋3≠0 成立，故方程 ax2＋4ax＋3＝0 无实根．① 当 a＝0 时，3≠0 满足要求；② 当 a≠0 时，则有 Δ＝16a2－12a＜0，即 0＜a＜时满足要求．综上可知 a∈.(2)由题意知，0≤x－1≤1，解得 2≤x≤4.因此，函数 f 的定义域为[2,4]．【答案】 (1) (2)[2,4][再练一题]1．已知函数 f(2x－1)的定义域为[0,1)，求 f(1－3x)的定义域. 【导学号：04100036】【解】 f(2x－1)的定义域为[0,1)，∴0≤x＜1，∴－1≤2x－1＜1，∴f(x)的定义域为[－1,1)，即－1≤1－3x＜1,0＜x≤.故函数 f(1－3x)的定义域为.函数的性质 函数的单调性和奇偶性是函数的两个重要的性质：(1)利用函数的单调性，可将函数值之间的关系转化为自变量间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的，特别是比较大小、证明不等式、求值域或最值等方面的应用较为广泛．判定单调性的方法主要有定义法，图像法．(2)利用奇偶函数图像的对称性，可以减少对变量的讨论，常能使求解的问题避免复杂的讨论． 已知函数 f(x)＝是奇函数，且 f(2)＝.(1)求实数 a，b 的值；(2)判断函数 f(x)在(－∞，－1]上的单调性，并加以证明．【精彩点拨】 (1)利用奇函数定义和 f(2)＝，求 a，b 的值；(2)根据单调性的定义证明．【规范解答】 (1) f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴＝－，∴－3x＋b＝－3x－b，因此 b＝－b，即 b＝0.又 f(2)＝，∴＝，∴a＝2.(2)由(1)知，f(x)＝＝，f(x)在(－∞，－1]上为增加的．证明：设 x1＜x2≤－1，则 f(x...