2.3.2 平面向量的坐标运算(二)[学习目标] 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法．[知识链接]1．向量共线定理是什么？答 向量 a 与非零向量 b 为共线向量，当且仅当有唯一一个实数 λ 使得 a＝λb.2．如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？答 当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如，向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(－1,2)与(－3，6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向等．[预习导引]1．向量共线的坐标表示一般地，设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，如果 a∥b，那么 x1y2－ x 2y1＝ 0 ，反过来，如果 x1y2－x2y1＝0，那么 a∥b.2．若P1P＝λPP2，则 P 与 P1、P2三点共线．当 λ∈(0 ，＋∞ ) 时，P 位于线段 P1P2的内部，特别地 λ＝1 时，P 为线段 P1P2的中点；当 λ∈( －∞，－ 1) 时，P 位于线段 P1P2的延长线上；当 λ∈( － 1,0) 时，P 位于线段 P1P2的反向延长线上.要点一 向量共线的判定例 1 已知 A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断AB与CD是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解 AB＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)．CD＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．方法一 (－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4<0，∴AB与CD共线且方向相反．方法二 CD＝－2AB，∴AB与CD共线且方向相反．规律方法 此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配．跟踪演练 1 已知 A、B、C 三点坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE＝AC，BF＝BC，求证：EF∥AB.证明 设点 E，F 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．依题意有，AC＝(2,2)，BC＝(－2,3)，AB＝(4，－1)． AE＝AC，∴(x1＋1，y1)＝(2,2)，∴点 E 的坐标为.同理点 F 的坐标为.∴EF＝.又×(－1)－4×＝0，∴EF∥AB.要点二 利用向量共线求参数例 2 已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当 k 为何值时，ka＋b 与 a－3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 方法一 ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．当 ka＋b 与 a－3b 平行时，存在唯一的实数 λ，使 ka＋b＝λ(a－3b)，即(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，∴解得 k...
