3．2 平面向量基本定理知识点 平面向量基本定理 [填一填]定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数 λ1，λ2使 a＝λ1e1＋λ2e2.不共线的向量 e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．[答一答]怎样理解平面向量基本定理？提示：(1)平面向量基本定理陈述了这样一个事实，即：如果已知平面内两个不共线的向量，那么对平面内任一向量都可以找到唯一的实数对把这一向量分解，这与物理中力的分解有共同之处，我们可以通过类比的方法加以理解．(2)这两个基底不是唯一的，只要是平面内不共线的两个向量即可．(3)e1，e2必须是同一平面内的两个不共线的向量，若 e1，e2是两个共线的向量，即 e1＝λe2，那么就不能用 e1，e2表示平面内不与 e1，e2共线的向量．(4)如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么这一平面内的任一向量 a 都可用 e1，e2唯一的一个线性组合 λ1e1＋λ2e2来表示，即若 λ1e1＋λ2e2＝xe1＋ye2，则 λ1＝x，λ2＝y.(5)对于 a＝λ1e1＋λ2e2来说，当 a 与 e1共线时，λ2＝0；当 a 与 e2共线时，λ1＝0；当 a＝0时，λ1＝λ2＝0.1．定理的实质平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任意向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式．2．分解的唯一性平面向量基本定理中，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的．3．体现的数学思想平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择恰当的基底，将问题涉及的向量用基底化归，使问题得以解决．类型一 对基底概念的理解 【例 1】 (1)已知向量 a＝2e1－e2，b＝e1＋2e2，c＝e1－e2，e1与 e2不共线，则下面不能构成基底的一组向量是( )A．a 与 bB．a 与 cC．a－b 与 cD．a＋b 与 c(2)已知 e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，若 a，b 能作为一组基底，则实数 λ 的取值范围为________．【解析】 (1)设 a＝λb，即 2e1－e2＝λ(e1＋2e2)，则无解，故 a 与 b 不共线，能构成基底；同理可得，a 与 c，a＋b 与 c 均不共线，均能构成基底． a－b＝(2e1－e2)－(e1＋2e2)＝e1－3e2＝2＝2c，∴a－b 与 c 共线，不能构成基底．(2)若 a，b 能作为一组基底，则向量 a，b 不共线．由题可知，若向量 a，b 共线，则有λ＝4，故当...
