第二章 圆柱、圆锥与圆锥曲线[对应学生用书 P43][对应学生用书 P43]平行投影平行投影关键在于注意角度的变换及运动变化和发展的观点的应用，并由此来处理有关图形的投影问题．如一个圆在平面上的平行投影可能是一个圆，一个椭圆或者是一条线段，但是由于缺乏具体的量的关系，我们对所成的椭圆不能做出具体的量的关系．将圆与平面立体化就形成了平面与圆柱的截面问题．[例 1] 已知△ABC 的边 BC 在平面 α 内，A 在平面 α 上的正投影为 A′(A′不在边 BC上)．当∠BAC＝60°时、AB、AC 与平面 α 所成的角分别是 30°和 45°时，求 cos∠BA′C.[解] 由题意，∠ABA′＝30°，∠ACA′＝45°.设 AA′＝1，则 A′B＝，A′C＝1，AC＝，AB＝2，∴BC＝ ＝，cos∠BA′C＝＝.圆柱面、圆锥面的平面截线(1)由两个等圆的内公切线与两条外公切线的交点，切点之间的量的关系具体化，就可以得到相应的数量关系，将其进一步拓广到空间之中就得到了平面与圆柱的截面问题．(2)在平面中：由与等腰三角形的两条腰的交点问题进一步推广到空间中的平面与圆锥面的交线问题所采用的方法与以前的平行投影和平面与圆柱面的截面问题相同．从不同的方向不同的位置用平面去截圆锥面，其截面的形状不同，由此我们可以得到定理，并可以利1用 Dandelin 双球对定理的结论进行证明和研究其特点．[例 2] 如图所示，用一个平面分别与球 O1、O2切于 F1、F2，截圆柱面于 G1、G2点，求证所得的截面为椭圆．[证明] 如图所示由平面图形的性质可知，当点 P 与 G1或 G2重合时，G2F1＋G2F2＝AD，G1F1＋G1F2＝AD.当 P 不与 G1、G2重合时，连接 PF1、PF2，则 PF1、PF2分别是两个球面的切线，切点分别为 F1、F2.过 P 作圆柱面的母线，与两个球分别相交于 K1、K2二点，则 PK1、PK2分别为两个球的切线，切点为 K1、K2.由切线长定理可知：PF1＝PK1，PF2＝PK2.所以有 PF1＋PF2＝PK1＋PK2＝AD＝G1G2.由于 AD 为定值且 AD>F1F2，故点 P 的轨迹为椭圆．一、选择题1．若一直线与平面的一条斜线在此平面上的正投影垂直，则这条直线与这条斜线的位置关系是( )A．垂直 B．异面C．相交 D．不能确定解析：当这条直线在平面内时，则 A 成立，当这条直线是平面的垂线，则 B 或 C 成立，故选 D.答案：D2．在空间，给出下列命题：(1)一个平面的两条斜线段相等，那么它们在平面内的正投影相等．(2)一条直线和平面的一条斜线垂直，必和这条斜线在这个...
