2.5 圆锥曲线的几何性质课标解读1.了解圆锥曲线的形成过程．2.理解圆锥曲线的统一定义．3.能用圆锥曲线的几何性质解决问题.圆锥曲线的统一定义抛物线、椭圆、双曲线都是平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数 e(离心率)的动点的轨迹，此时定点称为焦点，定直线称为准线．当 e＝1 时，轨迹为抛物线；当 0＜e＜1 时，轨迹为椭圆；当 e＞1 时，轨迹为双曲线．1．你能列举几条椭圆的几何性质吗？【提示】 (1)椭圆中有“四线”(两条对称轴、两条准线)，“六点”(两个焦点、四个顶点)．注意它们之间的位置关系(如准线垂直于长轴所在的直线、焦点在长轴上等)及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为 a－c，到相应准线的距离为－c 等)．(2)设椭圆方程＋＝1(a＞b＞0)上任意一点为 P(x，y)，则|OP|＝＝＝ . －a≤x≤a，∴x＝0 时，|OP|有最小值 b，这时，P 在短轴端点处；当 x＝±a 时，|OP|有最大值 a，这时 P 在长轴端点处．(3)椭圆上任意一点 P(x，y)(y≠0)与两焦点 F1(－c,0)，F2(c,0)构成△PF1F2称之为焦点三角形，周长为 2(a＋c)．(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形的边长有 a2＝b2＋c2.2．由双曲线的特征三角形我们可得到什么？【提示】 1双曲线的特征三角形和椭圆类似，如图中△OAB 称为双曲线的特征三角形，它几乎包含了双曲线的所有基本特征量：|OA|＝a，|AB|＝b，|OB|＝|OF2|＝c，cos∠AOB＝＝，OB 所在的直线即为双曲线的渐近线 y＝x，又 F2在 OB 上的射影记作 G，则|OG|＝a，|F2G|＝b(注意：△OAB≌△OGF2)．G 的横坐标记作 xG，则 xG＝(由射影定理可得)，那么过 G 作 y 轴的平行线 l，显然 l 为双曲线右焦点 F2对应的准线.圆锥曲线的几何性质图 2－5－1 如图 2－5－1 所示，椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，A 为椭圆内部一点，且 F1A⊥F1F2，椭圆的长轴长为 8，焦距为 4，M 为椭圆上任意一点，求 AM＋2MF2的最小值．【思路探究】 设法将 AM,2MF2转化到一条直线上，才能利用所学的求最值的基本思路，否则不易求．【自主解答】 如图所示，l1，l2为椭圆的准线，过 M 作 MN⊥l2于 N. e＝＝＝＝，∴MF2＝eMN＝MN，∴AM＋2MF2＝AM＋MN，故 AM＋2MF2的最小值为 A 到 l2的距离， AF1⊥F1F2，∴即求 F1到 l2的距离．延长 F1F2交 l2于 Q，F1Q＝c＋＝2＋＝10，故 AM＋2MF2的最小值为 10.1．本题求解的关键是把到焦点的距离转化为到定直线的距...
