高中数学 第二章 圆锥曲线 3 柱面与平面的截面学案 北师大版选修4-1-北师大版高二选修4-1数学学案

§3 柱面与平面的截面[对应学生用书 P36]1．圆柱面可以看成是一个矩形 ABCD 以一边 CD 所在的直线为轴旋转一周后 AB 边所形成的曲面．2．平面上一条曲线 C 绕着一条直线 l 旋转一周后所形成的曲面称为旋转面．3．用垂直于圆柱轴的平面截圆柱，所得交线是圆．4．当截面 β 与圆柱面的轴不垂直时，所得交线为椭圆．将两个球放入圆柱内，使它们位于平面 γ 的两侧，且每一个球既与圆柱相切，又与平面γ 相切．那么平面 γ 与圆柱面的截线是什么？提示：椭圆[对应学生用书 P37]椭圆的度量性质[例 1] 已知平面 α 与一圆柱的母线成 45°角，那么该平面与圆柱截口图形的离心率是( )A． B．1C． D．[思路点拨] 本题主要考查椭圆的度量性质，解决此题时只需结合椭圆的性质求解即可．[精解详析] 设圆柱的底半径为 r，由题意知平面与圆柱截口图形为椭圆，短轴长为 2b＝2r，则 2a＝＝2b＝2r，∴a＝r，c＝＝r∴离心率 e＝＝[答案] C椭圆是圆柱与平面的截口，因此椭圆的度量性质与圆柱的底面半径、截面与母线的夹角相关．1．已知圆柱的底面半径为 r，平面 α 与圆柱母线的夹角为 30°，则它们截口椭圆的焦距是( )A．2r B．4rC．r D．3r解析：选 A 如图，过 G2作 G2H⊥AD，H 为垂足，则 G2H＝2r.1在 Rt△G1G2H 中，G1G2＝＝2r×2＝4r，∴长轴 2a＝G1G2＝4r，短轴 2b＝2r.∴焦距 2c＝2＝2×r＝2r.椭圆的性质的应用[例 2] 如图，已知球 O1，O2分别切平面 β 于点 F1，F2.G1G2＝2a，Q1Q2＝2b，G1G2与 Q1Q2垂直且互相平分，求证：F1F2＝2.[思路点拨] 本题主要考查椭圆性质的应用．解决时要结合图形，依据圆柱、双球及其截面的关系综合应用相关性质去求解．[精解详析] 连接 AB，过 G1作 G1H⊥BG2，H 为垂足，则四边形 ABHG1是矩形．∴G1H＝AB.设 P1，P2分别是 Q1，Q2的平行射影，连接 P1P2，P1Q1，P2Q2，则 P1Q1綊 P2Q2.∴P1Q1Q2P2是平行四边形．∴Q1Q2＝P1P2，即 Q1Q2等于底面直径，∴G1H＝AB＝Q1Q2＝2b.又由切线长定理得G1A＝G1F1＝G2F2，G2F1＝G2B，∴G2F1－G2F2＝G2B－G1A.又 G1A＝BH，∴G2F1－G2F2＝G2B－BH.∴F1F2＝G2H.在 Rt△G1G2H 中，G2H＝＝＝2 .如图将双球放入圆柱内，可得：(1)圆柱形物体的斜截口是椭圆．(2)椭圆的长轴长为 AD，短轴长为圆的直径．焦点为切点 F1，F2.焦距 2c＝2＝F1F2.解决并应用此类问题时，要仔细考查双球与圆柱及截面的关系，常用到切线长定理、三...