§4 & §5 平面截圆锥面 圆锥曲线的几何性质[对应学生用书 P39]1．平面截圆锥面(1)当截面 β 与圆锥面的轴 l 垂直时，所得交线是一个圆．(2)任取一平面 β，它与圆锥面的轴 l 所成的夹角为 θ(β 与 l 平行时，记 θ＝0°)，当θ>σ(σ 为圆锥母线与轴交角)时，平面截圆锥面所得交线为椭圆；当 θ＝σ 时，交线为抛物线；当 θ<σ 时，交线为双曲线．2．圆锥曲线的几何性质抛物线、椭圆、双曲线都是平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数 e(离心率)的动点的轨迹，此时定点称为焦点，定直线称为准线．当 e＝1 时，轨迹为抛物线；当 01 时，轨迹为双曲线．1．当平面 β 与圆锥面的轴 l 所成的夹角为 θ＝时，其交线应为什么？提示：圆2．由圆锥曲线的统一定义可知，椭圆、双曲线的准线有几条？定义 e 时，定点与定直线有怎样的关系？提示：因为椭圆、双曲线各有两个焦点，故其准线有两条．定义 e 时，定点与定直线是对应的．即右焦点应对应右准线、左焦点对应左准线．[对应学生用书 P40]圆锥曲线的探讨[例 1] 在空间中，取直线 l 为轴，直线 l′与 l 相交于 O 点，夹角为 α，l′围绕 l 旋转得到以 O 为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面 γ，若它与轴 l 的交角为 β(当 γ 与 l 平行时，记 β＝0)，求证：β＝α 时，平面 γ 与圆锥的交线是抛物线．[思路点拨] 本题主要考查平面截圆锥面的曲线的讨论问题．解题时，注意利用条件，结合图形利用抛物线的定义求解．[精解详析] 如图，设平面 γ 与圆锥内切球相切于点 F，球与圆锥的交线为 S，过该交线的平面为 γ′，γ 与 γ′相交于直线 m.1在平面 γ 与圆锥的截线上任取一点 P，连接 PF.过点 P 作 PA⊥m，交 m 于点 A，过点 P 作γ′的垂线，垂足为 B，连接 AB，则 AB⊥m，∴∠PAB 是 γ 与 γ′所成二面角的平面角．连接点 P 与圆锥的顶点，与 S 相交于点 Q，连接 BQ，则∠BPQ＝α，∠APB＝β.在 Rt△APB 中，PB＝PAcos β.在 Rt△PBQ 中，PB＝PQcos α.∴＝.又 PQ＝PF，α＝β，∴＝1，即 PF＝PA，动点 P 到定点 F 的距离等于它到定直线 m 的距离，故当 α＝β 时，平面与圆锥的交线为抛物线．已知平面与圆锥面的轴的夹角为 β，曲线与轴的夹角为 α，当 α＝β 时，平面与圆锥的交线为抛物线．β<α 时为双曲线，β>α 时为椭圆...
