高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程课堂探究学案 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学学案

2.1 曲线与方程课堂探究探究一 曲线与方程的概念问题曲线与方程的定义表明：曲线 C 的方程是 F(x，y)＝0 的充分必要条件是曲线 C 上所有点的坐标都是方程 F(x，y)＝0 的解，并且以方程 F(x，y)＝0 的实数解为坐标的点都在曲线 C 上，这是识别曲线和方程关系的基本依据．判断点与曲线关系的方法(1)从点的坐标角度若点 M(x0，y0)在方程 f(x，y)＝0 所表示的曲线 C 上，则 f(x0，y0)＝0；或若 f(x0，y0)≠0，则点 M(x0，y0)不在方程 f(x，y)＝0 表示的曲线 C 上．(2)从方程的解的角度若 f(x0，y0)＝0，则点 M(x0，y0)在方程 f(x，y)＝0 所表示的曲线 C 上；或若点 M(x0，y0)不在方程 f(x，y)＝0 表示的曲线 C 上，则 f(x0，y0)≠0.【典型例题 1】 如果曲线 C 上所有点的坐标都是方程 F(x，y)＝0 的解，那么以下说法正确的是( )A．以方程 F(x，y)＝0 的解为坐标的点都在曲线 C 上B．以方程 F(x，y)＝0 的解为坐标的点有些不在曲线 C 上C．不在曲线 C 上的点的坐标都不是方程 F(x，y)＝0 的解D．坐标不满足方程 F(x，y)＝0 的点都不在曲线 C 上解析：由题意可知，曲线 C 上的所有点构成的集合是方程 F(x，y)＝0 的解构成的集合的子集，它包含两种情形：①真子集；②相等．据以上可知，选项 A，B，C 都是不正确的，只有选项 D 是正确的．答案：D探究二 曲线方程的求法解决求曲线方程问题通常按以下三大步骤进行：(1)建立恰当的坐标系：曲线方程的实质即为曲线上的任一点的横、纵坐标的关系式，首先要建立恰当的直角坐标系(坐标系的建立，直接影响曲线方程的繁简)．(2)利用题目条件，建立等量关系：根据曲线上的点适合的条件列出等式，是求方程的重要一环，常用到一些基本公式，如两点间的距离公式等，仔细审题，用已知条件和曲线的特征，抓住与曲线上的任意点 M 有关的相关关系结合基本公式列出等式进行化简．(3)挖掘题目隐含条件，避免“少解”与“多解”：在求曲线方程时，由于忽视了题目中的隐含条件，出现不符合题意的点，或在方程进行不等价变形的过程中容易丢掉、增加解，因此在求曲线方程后应根据条件将多余的点剔除，将遗漏的点补上．【典型例题 2】 已知平面上两个定点 A，B 之间的距离为 2a，点 M 到 A，B 两点的距离之比为 2∶1，求动点 M 的轨迹方程．思路分析：因为已知条件中未给定坐标系，所以需“恰当”建立坐标系．考虑到对称性，由|AB|＝2a，选...