高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2 空间向量的运算（二）学案 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学学案

2 空间向量的运算（二）学习目标 1.掌握空间向量数乘运算的定义及数乘运算的运算律.2.了解平行(共线)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.3.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.知识点一 空间向量的数乘运算思考 实数 λ 和空间向量 a 的乘积 λa 的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？梳理 (1)实数与向量的积与平面向量一样，实数 λ 与空间向量 a 的乘积 λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作 λa，其长度和方向规定如下：①|λa|＝__________.② 当 λ>0 时，λa 与向量 a 方向相同；当 λ<0 时，λa 与向量 a 方向______；当 λ＝0 时，λa＝0.(2)空间向量数乘运算满足以下运算律：①λ(μa)＝______________；②λ(a＋b)＝____________；③(λ1＋λ2)a＝__________(拓展).知识点二 共线向量与共面向量思考 1 回顾平面向量中关于向量共线的知识，给出空间中共线向量的定义.思考 2 空间中任何两个向量都是共面向量，这个结论是否正确？梳理 (1)平行(共线)向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相__________充要条件对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，存在实数 λ，使__________点 P 在直线 l上的充要条件存在实数 t 满足等式________________，在直线 l 上取向量AB＝a，则OP＝OA＋t______向量 a 为直线 l 的____________1(2)共面向量定义平行于同一个______的向量三个向量共面的充要条件向量 p 与不共线向量 a，b 共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)，使__________点 P 位于平面 ABC 内的充要条件存在有序实数对(x，y)，使AP＝__________对空间任一点 O，有OP＝OA＋__________类型一 向量共线问题例 1 如图所示，在正方体 ABCD—B1C1D1中，E 在 A1D1上，且A1E＝2ED1，F 在对角线 A1C 上，且A1F＝FC.求证：E，F，B 三点共线.反思与感悟 判定向量 a，b(b≠0)共线，只需利用已知条件找到 x，使 a＝xb 即可.证明点共线，只需证明对应的向量共线.跟踪训练 1 如图所示，在空间四边形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，CD 的中点，请判断向量EF与AD＋BC是否共线？2类型二 空间向量的数乘运算及应用例 2 如图所示，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P 分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：(1)A...