高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭圆 2.1.1 椭圆及其标准方程导学案 北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学学案VIP专享

2.1.1 椭圆及其标准方程学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.知识点一 椭圆的定义思考 1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板能画出椭圆吗？答案 固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键.思考 2 在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足的几何条件吗？答案 笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长.梳理 把平面内到两个定点 F1，F2的距离之和等于常数 ( 大于 | F 1F2|)的点的集合叫作椭圆，这两个定点 F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点 F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距.知识点二 椭圆的标准方程思考 1 椭圆方程中，a、b 以及参数 c 有什么几何意义，它们满足什么关系？答案 椭圆方程中，a 表示椭圆上的点 M 到两焦点间距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a、b、c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，c 是焦距的一半.a、b、c 始终满足关系式 a2＝b2＋c2.思考 2 椭圆定义中，为什么要限制常数|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|?答案 只有当 2a>|F1F2|时，动点 M 的轨迹才是椭圆；当 2a＝|F1F2|时，点的轨迹是线段 F1F2；当 2a<|F1F2|时，满足条件的点不存在.梳理 焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形焦点坐标F1( － c ， 0) ， F 2( c ， 0) F1(0 ，－ c ) ， F 2(0 ， c ) a，b，c 的关系c 2 ＝ a 2 － b 2 类型一 求椭圆的标准方程命题角度 1 焦点位置已知求椭圆的方程例 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在 x 轴上，a∶b＝2∶1，c＝；(2)经过点(3，)，且与椭圆＋＝1 有共同的焦点.解 (1) c＝，∴a2－b2＝c2＝6.①又由 a∶b＝2∶1，得 a＝2b，代入①，得 4b2－b2＝6，解得 b2＝2，∴a2＝8.1又 焦点在 x 轴上，∴椭圆的标准方程为＋＝1.(2)方法一 椭圆＋＝1 的焦点为(－4，0)和(4，0)，由椭圆的定义可得2a＝＋，∴2a＝12，即 a＝6. c＝4，∴b2＝a2－c2＝62－42＝20，∴椭圆的标准方程为＋＝1.方法二 由题意可设椭圆的标准方程为＋＝1，将 x＝3，y＝代入上面的椭圆方程，得＋＝1，解得 λ＝11 或 λ＝－21(舍去)，∴椭圆的标准方程为＋＝1.反思与感悟 用待定系数法求椭圆的标准方程的基本思路：首先根据焦点的位置设出椭圆的方程，然后根据条...