高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2 空间向量的运算（一）学案 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学学案

2 空间向量的运算（一）学习目标 1.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.2.了解向量加法的交换律和结合律.知识点 空间向量的加减运算及运算律思考 1 下面给出了两个空间向量 a、b，作出 b＋a，b－a.思考 2 由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？梳理 (1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.OB＝OA＋AB＝a＋b，CA＝OA－OC＝a－b(2)空间向量的加法交换律a＋b＝________，空间向量的加法结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).类型一 向量式的化简例 1 如图，已知长方体 ABCD—A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量. 1(1)AA′－CB；(2)AA′＋AB＋B′C′.引申探究利用例 1 题图，化简AA′＋A′B′＋B′C′＋C′A.反思与感悟 (1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An.(2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为 0.如图，OB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FG＋GH＋HO＝0. (3)空间向量的减法运算也可以看成是向量的加法运算，即 a－b＝a＋(－b).跟踪训练 1 在如图所示的平行六面体中，求证：AC＋AB′＋AD′＝2AC′.类型二 用已知向量表示未知向量例 2 在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝a，AD＝b，AA1＝c.用向量 a，b，c 表示以下向量.(1)AC1；(2)BD1.2反思与感悟 将一个向量表示成 n 个向量的和或差，关键是根据向量的加减运算将向量进行拆分，一般可考虑从起点到终点构成封闭的回路进行运算.跟踪训练 2 在例 2 中，若已知 A1C1与 B1D1的交点为 M.请用 a，b，c 表示BM.1.下列命题中，假命题是( )A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C.只有零向量的模等于 0D.空间中任意两个单位向量必相等2.在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，与向量AD相等的向量共有( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个3.向量 a，b 互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( )A.a＝b B.a＋b 为实数 0 C.a 与 b 方向相同 D.|a|＝34.在正方体 ABCD—A1B1C1D1中，已知下列各式：①(AB＋BC)＋CC1；②(AA1＋A1D1)＋D1C1；③(AB＋BB1)＋B1C1；④(AA1＋A1B1)＋B1C1.其中运算的结果为AC1的有________个.5.化简：2AB＋2BC＋3CD＋3DA＋AC＝________.空间向量加法、...