高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的坐标学案（含解析）北师大版必修4-北师大版高二必修4数学学案

§4 平面向量的坐标知识点一 平面向量及线性运算的坐标表示 [填一填]1．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，如图，我们分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底，a 为坐标平面内的任意向量，以坐标原点 O 为起点作OP＝a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y，使得OP＝xi＋yj，因此 a＝xi＋yj.我们把实数对( x ， y ) 叫作向量 a 的坐标，记作 a＝( x ， y ) ． 2．平面向量线性运算的坐标表示(1)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝( x 1＋ x 2， y 1＋ y 2)；a－b＝( x 1－ x 2， y 1－ y 2) ． (2)设 a＝(x，y)，λ∈R，则 λa＝( λx ， λy ) ． (3)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝( x 2－ x 1， y 2－ y 1) ． [答一答]1．如何理解向量的坐标？提示：(1)i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．(2)在平面直角坐标系内，以原点 O 为起点作向量OA＝a，则点 A 的位置由向量 a 唯一确定．(3)设OA＝xi＋yj，则向量OA的坐标(x，y)就是终点 A 的坐标；反过来，终点 A 的坐标就是向量OA的坐标(x，y)，因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．(4)两个向量相等，则它们对应的坐标相等．反过来，也成立．(5)要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点和终点的坐标却可以不同．如，点 A(3,5)，B(6,8)，C(－5,3)，D(－2,6)，向量AB＝CD＝(3,3)．两个向量的坐标相同，但起点、终点的坐标都不相同．知识点二 向量平行的条件 [填一填]3．设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，那么当且仅当 x1y2－ x 2y1＝ 0 时，向量a，b(b≠0)共线．由于规定零向量与任何向量平行，所以 b≠0 的条件可去掉．当 x2y2≠0 时，向量 a，b 共线的条件也可以写作＝.即：(1)若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例．(2)若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行．[答一答]2．两个向量共线的条件有哪几种表示方法？各有什么特点？提示：两个向量 a＝(x1，y1)和 b＝(x2，y2)共线的条件有以下三种表示方法：(1)当 a≠0 时，b＝λa.这是几何运算，体现了向量 a 与 b 的长度及方向之间的关系．(2)x1y2－x2y1＝0.这是代数运算，用它解决向量的共线问题，好处在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使...