§4 用向量讨论垂直与平行已知直线 l1，l2的方向向量分别为 u1，u2；平面 π1，π2的法向量分别为 n1，n2.问题 1：若直线 l1∥l2，直线 l1垂直于平面 π1，则它们的方向向量和法向量有什么关系？提示：u1∥u2∥n1.问题 2：若 l1⊥l2，l1∥π2呢？提示：u1⊥u2，u1⊥n2.问题 3：若 π1∥π2，则 n1，n2有什么关系？提示：n1∥n2.1．空间中平行、垂直关系的向量表示设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，平面 π1，π2的法向量分别为 n1，n2，则线线平行l∥m⇔a＝kb(k∈R)线面平行l∥π1⇔a⊥n1⇔a·n1＝0 面面平行π1∥π2⇔n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R)线线垂直l⊥m⇔a·b＝0线面垂直l⊥π1⇔a∥n1⇔a＝kn1(k∈R)面面垂直π1⊥π2⇔n1⊥n2 ⇔n1·n2＝02.三垂线定理若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影，则这两条直线垂直．3．面面垂直的判定定理若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直．一条直线可由一点及其方向向量确定，平面可由一点及其法向量确定，因此可利用直线的方向向量与平面的法向量的平行、垂直来判定直线、平面的位置关系．这是向量法证明垂直、平行关系的关键．第一课时 空间向量与平行关系由直线的方向向量与平面的法向量判定线面位置关系[例 1] (1)设 a，b 分别是两条不同直线 l1，l2的方向向量，根据下列条件判断 l1与l2的位置关系：①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)；②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)；③a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)．(2)设 n1，n2分别是两个不同平面 π1，π2的法向量，根据下列条件判断 π1，π2的位置关系：①n1＝(1，－1,2)，n2＝(3,2，－)；②n1＝(0,3,0)，n2＝(0，－5,0)；③n1＝(2，－3,4)，n2＝(4，－2,1)．(3)设 n 是平面 π 的法向量，a 是直线 l 的方向向量，根据下列条件判断 π 和 l 的位置关系：①n＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)；②n＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)；③n＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)．[思路点拨] 本题可由直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，转化为线线、线面及面面之间的关系．[精解详析] (1)① a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，∴a＝－b.∴a∥b，∴l1∥l2.② a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0.∴a⊥b.∴l1⊥l2.③ a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，∴a 与 b 不共线，也不垂直．∴l1与 l2的位置关系是相交或异面(不垂直)．(2)① n1＝(1，－1,2)，n2＝，∴n1·n2＝3－2－1＝0.∴n1⊥n2，∴π1⊥π2.② ...
