2.4 向量的数量积(三)[学习目标] 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．[知识链接]1．已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．a∥b 与 a⊥b 坐标表示有何区别？答 若 a∥b⇔x1y2＝x2y1，即 x1y2－x2y1＝0.若 a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即 x1x2＋y1y2＝0.两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．2．你能用向量法推导两点间距离公式|AB|＝吗？答 AB＝(x2－x1，y2－y1)，∴AB·AB＝AB2＝|AB|2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，即|AB|＝.[预习导引]1．平面向量数量积的坐标表示若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋ y 1y2.即两个向量的数量积等于对应坐标乘积的和．2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔x1x2＋ y 1y2＝ 0 .3．平面向量的模(1)向量模公式：设 a＝(x1，y1)，则|a|＝.(2)两点间距离公式：若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝.4．向量的夹角公式：设两非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ，则 cos θ＝＝ .要点一 向量数量积的坐标运算例 1 已知向量 a 与 b 同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：(1)向量 a 的坐标；(2)若 c＝(2，－1)，求(a·c)·b.解 (1) a 与 b 同向，且 b＝(1,2)，∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)．又 a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．(2) a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，∴(a·c)·b＝0·b＝0.规律方法 (1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等知识的联系．(2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充．跟踪演练 1 已知向量 a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)．求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(2a－b)；(3)(a·b)·c，a·(b·c)．解 (1)a·b＝(1,3)·(2,5)＝1×2＋3×5＝17.(2) a＋b＝(1,3)＋(2,5)＝(3,8)，2a－b＝2(1,3)－(2,5)＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，∴(a＋b)·(2a－b)＝(3,8)·(0,1)＝3×0＋8×1＝8.(3)(a·b)·c＝17c＝17(2,1)＝(34,17)，a·(b·c)＝a·[(2,5)·(2,1)]＝(1,3)·(2×2＋5×1)＝9(1,3)＝(9,27)．要点二 两向量的夹角例 2 已知OP＝(2,1)，OA＝(1,7)，OB＝(5,1)，设 C 是直线 OP 上的一点(其中 O 为坐标原点)．(1)...
