§6 距离的计算点到直线的距离如图，设 l 是过点 P 平行于向量 s 的直线，A 是直线 l 外一定点．如图，作 AA′⊥l，垂足为 A′.问题 1：点 A 到直线 l 的距离与线段 AA′的长度有何关系？提示：相等．问题 2：若 s0为 s 的单位向量，你能得出在 s 上的投影长吗？提示：向量在 s 上的投影长为|||cos〈，s〉|＝||·＝＝|·|＝|·s0|.问题 3：设点 A 到直线 l 的距离为 d，你能根据问题 2 的答案写出 d 的表达式吗？提示：d＝|AA′|＝ .点到直线的距离设 l 是过点 P 平行于向量 s 的直线，A 是直线 l 外一定点，向量在 s 上的投影的大小为|·s0|，则点 A 到直线 l 的距离 d＝ .点到平面的距离如图，设 π 是过点 P 垂直于向量 n 的平面，A 是平面 π 外一定点．作 AA′⊥π，垂足为 A′.问题 1：点 A 到平面 π 的距离 d 与线段 AA′的长度有何关系？提示：相等．问题 2：n0是 n 的单位向量，则向量在向量 n 上的投影大小是什么？与|AA′|相等吗？提示：|·n0|，相等．点到平面的距离设 n 为过点 P 的平面的一个法向量，A 是该平面外一定点，向量在 n 上的投影的大小为|·n0|，则点 A 到该平面的距离 d＝|·n0|.1．用向量法求点到直线的距离，在直线上选点时，可视情况灵活选择，原则是便于计算，s0是 s 的单位向量， s0＝.2．用向量法求点到平面的距离，关键是找到平面的法向量和平面的斜线段的方向向量．点到直线的距离[例 1] 如图，在空间直角坐标系中，有长方体 ABCD－A′B′C′D′，AB＝2，BC＝3，AA′＝4，求点 B 到直线 A′C 的距离．[思路点拨] 用点到直线的距离公式计算点 B 到直线 A′C 的距离D.[精解详析] 因为 AB＝2，BC＝3，AA′＝4，所以 B(2,0,0)，C(2,3,0)，A′(0,0,4)．＝(0,0,4)－(2,3,0)＝(－2，－3,4)．＝(2,0,0)－(2,3,0)＝(0，－3,0)．所以在上的投影：·＝(0，－3,0)·＝(0，－3,0)·＝0×＋(－3)×＋0×＝；所以点 B 到直线 A′C 的距离为d＝ ＝ ＝.[一点通] 1．用向量法求直线外一点 A 到直线 l 的距离的步骤(1)确定直线 l 的方向向量 s 及 s0；(2)在 l 上找一点 P，计算的长度；(3)计算·s0的值；(4)由公式 d＝ 求解．2．用向量法求点到直线的距离的好处在于回避了用直接法求距离的难点(即过 A1点作l 的垂线，难在垂足的位置的确定)．1．已知正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 a，则点...
