2.4 向量的数量积课堂导学三点剖析1.平面向量数量积的概念及其运算律【例 1】 已知|a|=4，|b|=3，若：（1）a∥b；（2）a⊥b；（3）a 与 b 的夹角为 60°，分别求 a·b.思路分析：本题运用数量积的定义求数量积.已知|a|与|b|，a 与 b 的夹角，由定义可求a·b.解：(1)当 a∥b 时，若 a 与 b 同向，则它们的夹角 θ=0°,a·b=|a||b|cos0°=4×3×1=12;若 a 与 b 反向，则 a 与 b 的夹角 θ=180°,a·b=|a||b|cos180°=4×3×(-1)=-12.(2)当 a⊥b 时,a 与 b 的夹角为 90°,a·b=|a|·|b|cos90°=0,(3)当 a 与 b 的夹角 θ=60°时，a·b=|a||b|cos60°=4×3×=6.温馨提示 利用定义计算 a 与 b 的数量积，关键是确定两向量的夹角.当 a∥b 时，a 与 b 的夹角可能是 0°，也可能为 180°，解题时容易遗漏 180°的情形.2．平面向量数量积的应用【例 2】已知|a|=,|b|=3，a 与 b 的夹角为 45°,求使向量 a+λb 与 λa+b 的夹角为锐角时，λ 的取值范围.解：设 a+λb 与 λa+b 的夹角为 θ.则 cosθ=＞0,即(a+λb)·(λa+b)＞0,展开得，λa2+(λ2+1)a·b+λb2＞0. |a|=2,|b|=3,a·b=|a||b|cos45°=3,∴2λ+3(λ2+1)+9λ＞0,即 3λ2+11λ+3＞0.λ＜或 λ＞.另外 θ=0°时，λ=1.故 λ≠1.∴λ∈(-∞,)∪(,1)∪(1,+∞).温馨提示 求夹角时，注意与三角函数、不等式等知识相结合，但要注意角的范围.3.平面向量数量积的运算律同实数的运算律的比较【例 3】 已知|a|=5，|b|=4，a 与 b 的夹角为 120°，求：（1）a·b；（2）（a+b）2；（3）a2-b2；（4）（2a-b）·（a+3b）.思路分析：由于向量的数量积满足乘法对加法的分配律，因此向量的数量积运算可类似于多 项 式 的 乘 法 运 算 ， 如 （ a+b ） 2= （ a+b ） · （ a+b ） = （ a+b ） ·a+（a+b）·b=a·a+b·a+a·b+b·b=a2+2a·b+b2.解：（1）a·b=|a||b|cos120°=5×4×(-)=-10;(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2=25-2×10+16=21;(3)a2-b2=|a|2-|b|2=25-16=9;(4)(2a-b)·（a+3b）=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+5a·b-3|b|2=2×25+5×(-10)-3×16=-48.温馨提示(1)在进行向量数量积运算时，应严格按运算律进行；（2）由于向量数量积满足乘法对加法的分配律，故向量数量积中也有类似多项式乘法的公式：（a±b）2=a2±2a·b+b2，（a+b）·（a-b）=a2-b2，（a+b+c）=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c.因此，有...
