4 向量的数量积课堂导学三点剖析1
平面向量数量积的概念及其运算律【例 1】 已知|a|=4，|b|=3，若：（1）a∥b；（2）a⊥b；（3）a 与 b 的夹角为 60°，分别求 a·b
思路分析：本题运用数量积的定义求数量积
已知|a|与|b|，a 与 b 的夹角，由定义可求a·b
解：(1)当 a∥b 时，若 a 与 b 同向，则它们的夹角 θ=0°,a·b=|a||b|cos0°=4×3×1=12;若 a 与 b 反向，则 a 与 b 的夹角 θ=180°,a·b=|a||b|cos180°=4×3×(-1)=-12
(2)当 a⊥b 时,a 与 b 的夹角为 90°,a·b=|a|·|b|cos90°=0,(3)当 a 与 b 的夹角 θ=60°时，a·b=|a||b|cos60°=4×3×=6
温馨提示 利用定义计算 a 与 b 的数量积，关键是确定两向量的夹角
当 a∥b 时，a 与 b 的夹角可能是 0°，也可能为 180°，解题时容易遗漏 180°的情形
2．平面向量数量积的应用【例 2】已知|a|=,|b|=3，a 与 b 的夹角为 45°,求使向量 a+λb 与 λa+b 的夹角为锐角时，λ 的取值范围
解：设 a+λb 与 λa+b 的夹角为 θ
则 cosθ=＞0,即(a+λb)·(λa+b)＞0,展开得，λa2+(λ2+1)a·b+λb2＞0
|a|=2,|b|=3,a·b=|a||b|cos45°=3,∴2λ+3(λ2+1)+9λ＞0,即 3λ2+11λ+3＞0
λ＜或 λ＞
另外 θ=0°时，λ=1
∴λ∈(-∞,)∪(,1)∪(1,+∞)
温馨提示 求夹角时，注意与三角函数、不等式等知识相结合，但要注意角的范围
平面向量数量积的运算律同实数的运算律的比较【例 3】 已知|a|=5，|b|=4，a 与 b 的夹角为 12
