2.4 向量的数量积典题精讲 例 1 若 向 量 a,b,c 满 足 a+b+c=0 ， 且 |a|=3,|b|=1,|c|=4, 则a·b+b·c+a·c=_____________.思路解析：本题可以利用数量积公式两边平方求解；也可由已知条件，得出三个向量之间的两两夹角，再用数量积公式求解.方法一： a+b+c=0，∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=0.∴2(a·b+b·c+a·c)=-（a2+b2+c2）=-（|a|2+|b|2+|c|2）=-（32+12+42）=-26.∴a·b+b·c+a·c=-13.方法二：根据已知条件可知|c|=|a|+|b|，c=-a-b,所以 a 与 b 同向，c 与 a+b 反向.所以有a·b+b·c+a·c=3cos0°+4cos180°+12cos180°=3-4-12=-13.答案：-13 绿色通道：由向量数量积定义及其运算律可推导出如下常用性质：a2=｜a｜2，(a+b)(c+d)=a·c+a·d+b·c+b·d,(a+b)2=a2+2a·b+b2,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c. 变式训练 已知|a|=5,|b|=12，当且仅当 m 为何值时，向量 a+mb 与 a-mb 互相垂直?思路分析：(a+mb)⊥(a-mb)(a+mb)·(a-mb)=0.根据这一点可以很容易寻找到解题突破口.解：若向量 a+mb 与 a-mb 互相垂直，则有(a+mb)·(a-mb)=0,∴a2-m2b2=0. |a|=5,|b|=12，∴a2=25,b2=144.∴25-144m2=0.∴m=±.∴当且仅当 m=±时，向量 a+mb 与 a-mb 互相垂直. 例 2 （2006 福建高考卷，理 11） 已知||=1,||=,·=0,点 C 在∠AOB 内,且∠AOC=30°.设=m+n(m、n∈R)，则等于…( )A. B.3 C. D.思路解析：本题可以利用向量的加法、实数与向量的积的坐标运算、向量数量积来解，向量是高中数学新增内容，所以它也成为高考重点考查的内容之一.深刻理解向量的运算，做到灵活运用，使解题简便.方法一：以直线、OB 分别为 x 轴、y 轴建立直角坐标系，则 A(1,0),B(0,).设=λ(cos30°,sin30°)=(λ,λ),另外=m+n=m(1,0)+n(0,),得(λ,λ)=(m,n)方法二：=(m+n)2=m22+n22=m2+3n2，∴||=.由已知,得∠BOC=60°，在等式=m+n(m、n∈R)两端同乘以，得·=m2，∴m=||·||cos30°=m2=9n2.由题设知 m>0,n>0,∴=3.答案：B 黑色陷阱：对向量的坐标运算或向量数量积的运算不熟练，易导致难寻问题的切入口；有关向量的运算失误也易导致解答失误. 变式训练 (2006 福建高考卷，文 9) 已知向量 a 与 b 的夹角为 120°，|a|=3,|a+b|=,则|b|等于( )A.5 B.4 C.3 D.1思路解析：向量 a 与 b 的夹角为 120°，|a|=3,|a+b|=,a·b=|a|·|b|·cos120°=|b|，|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2，∴13=9-3|b...
