4 用向量讨论垂直与平行（一）学习目标 1.会用待定系数法求平面的法向量.2.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.知识点一 空间中平行关系的向量表示设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，平面 α，β 的法向量分别为 μ，v，则线线平行l∥m⇔________⇔a＝kb(k∈R)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔__________面面平行α∥β⇔μ∥v⇔____________知识点二 利用空间向量处理平行问题思考 (1)设 v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线 l1，l2的方向向量.若直线 l1∥l2，则向量 v1，v2应满足什么关系.(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？梳理 利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.类型一 求直线的方向向量、平面的法向量例 1 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点.AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面 ACE 的一个法向量. 引申探究若本例条件不变，试求直线 PC 的一个方向向量和平面 PCD 的一个法向量. 1反思与感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为 n＝(x，y，z).(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB，AC.(3)列方程组：由列出方程组.(4)解方程组：(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1).(6)得结论：得到平面的一个法向量.跟踪训练 1 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是矩形.平面 PAB⊥平面 ABCD，△PAB 是边长为 1 的正三角形，ABCD 是菱形.∠ABC＝60°，E 是 PC 的中点，F 是 AB 的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面 DEF 的法向量. 类型二 利用空间向量证明平行问题例 2 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1的棱长为 2，E、F 分别是 BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面 ADE；(2)平面 ADE∥平面 B1C1F.反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.跟踪训练 2 如图，在四棱锥 P—ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，PB 与底面所成的角为 45...
