2.2 向量的线性运算典题精讲 例 1 已知向量 a、b，比较|a+b|与|a|+|b|的大小.思路分析：因为向量包含长度和方向，所以在比较和向量长度的大小时，要考虑其方向.解：(1)当 a、b 至少有一个为零向量时，有|a+b|=|a|+|b|；(2)当 a、b 为非零向量且 a、b 不共线时，有|a+b|<|a|+|b|；(3)当 a、b 为非零向量且 a、b 同向共线时，有|a+b|=|a|+|b|；(4)当 a、b 为非零向量且 a、b 异向共线时，有|a+b|<|a|+|b|. 绿色通道：解答本题可利用向量加法的三角形法则，作出草图辅助解答.关键是准确、恰当地进行分类处理. 变式训练 已知向量 a、b，讨论|a-b|、|a|+|b|和||a|-|b||的大小.思路解析：(1)当 a、b 至少有一个为零向量时，有|a-b|=|a|+|b|=||a|-|b||；(2)当 a、b 为非零向量，且 a、b 不共线时，有|a|+|b|>|a-b|>||a|-|b||；(三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边的向量表示)当 a、b 为非零向量，且 a、b 同向共线时,|a|+|b|>|a+b|=||a|-|b||,当 a，b 为非零向量，且 a，b 异向共线时，|a|+|b|=|a+b|>||a|-|b||,所以|a|+|b|≥|a-b|≥||a|-|b||. 例 2 化简下列各式：(1)；(2)［(4a-3b)+b-(6a-7b)］.思路分析：对于(1)，可以利用三角形法则对向量进行分解；对于(2),利用向量线性运算的运算法则化简.解：(1)=0+2=2；(2)［(4a-3b)+b-(6a-7b)］=(4a-3b+b-a+b)=［(4-)a+(-3++)b］=(a-b)=a-b. 绿色通道：向量加法的三角形法则可以推广为多边形法则，另一方面可以把任何一个向量用两个向量的和或差来表示，使用向量的数乘的结合律与分配律可以化简向量式子. 变式训练 (2006 全国高考卷Ⅰ，理 9) 设平面向量 a1、a2、a3的和 a1+a2+a3=0.如果向量 b1、b2、b3满足|bi|=2|ai|，且 ai顺时针旋转 30°后与 bi同向，其中 i=1,2,3，则( )A.-b1+b2+b3=0 B.b1-b2+b3=0C.b1+b2-b3=0 D.b1+b2+b3=0思路解析：如图 2-2-8 所示,图 2-2-8 |bi|=2|ai|,假设旋转角度的方向为逆时针,可得△OAB∽△OA′B′且相似比为 1∶2.a1+a2+a3=0,b1+b2+b3=0.答案：D 例 3 已知两个非零向量 e1和 e2不共线，且 ke1+e2和 e1+ke2共线，求实数 k 的值.思路分析：向量 a,b 共线,则一定存在实数 λ,使 a=λb 成立.解： ke1+e2和 e1+ke2共线，∴存在实数 λ，使得 ke1+e2=λ(e1+ke2).∴(k-λ)e1=(λk-1)e2. e1和 e2不共线，∴∴k=±1. 绿色通道：本题从正反两方面运用了向量数乘的几何意义，利用共...
