2.1.2 第 2 课时 椭圆方程及性质的应用1.掌握直线与椭圆的位置关系.(重点)2.通过一元二次方程根与系数关系的应用，解决有关椭圆的简单综合问题.(重点)3.能利用椭圆的有关性质解决实际问题.(难点)[基础·初探]教材整理 1 点与椭圆的位置关系设点 P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a＞b＞0).(1)点 P 在椭圆上⇔＋＝1；(2)点 P 在椭圆内⇔＋＜1；(3)点 P 在椭圆外⇔＋＞1.已知点(2,3)在椭圆＋＝1 上，则下列说法正确的是________① 点(－2,3)在椭圆外② 点(3,2)在椭圆上③ 点(－2，－3)在椭圆内④ 点(2，－3)在椭圆上【解析】 由椭圆的对称性知点(2，－3)也在椭圆上.【答案】 ④教材整理 2 直线与椭圆的位置关系1.直线与椭圆的位置关系及判定直线 y＝kx＋m 与椭圆＋＝1(a＞b＞0)联立消去 y 得一个一元二次方程.位置关系解的个数Δ 的取值相交两解Δ＞0相切一解Δ＝0相离无解Δ＜02.弦长公式设直线 y＝kx＋b 与椭圆的交点坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝·|y1－y2|.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)点 P(2,1)在椭圆＋＝1 的内部.( )(2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切.( )(3)过点 A(0,1)的直线一定与椭圆 x2＋＝1 相交.( )(4)长轴是椭圆中最长的弦.( )1【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√[小组合作型]直线与椭圆的位置关系 (1)若直线 mx＋ny＝4 和⊙O：x2＋y2＝4 没有交点，则过点 P(m，n)的直线与椭圆＋＝1 的交点个数为( )A.2 个B.至多一个C.1 个D.0 个(2)已知椭圆 4x2＋y2＝1 及直线 y＝x＋m，问 m 为何值时，直线与椭圆相切、相交？【精彩点拨】 利用几何法判断直线与椭圆的位置关系.【自主解答】 (1)若直线与圆没有交点，则 d＝ ＞2，∴m2＋n2＜4，即＜1.∴＋＜1，∴点(m，n)在椭圆的内部，故直线与椭圆有 2 个交点.【答案】 A(2)将 y＝x＋m 代入 4x2＋y2＝1，消去 y 整理得 5x2＋2mx＋m2－1＝0.Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2.当 Δ＝0 时，得 m＝±，直线与椭圆相切.当 Δ＞0 时，得－＜m＜，直线与椭圆相交.1.直线与椭圆的位置关系是通过代数法完成的，Δ 的符号决定了交点的个数，从而确定了其位置关系.2.有关直线与椭圆的位置关系存在两类问题，一是判断位置关系，二是依据位置关系确定参数的范围，两类问题在解决方法上是一致的，都要将直线与椭圆方程联立，利用判别式及根与系数的关系进行求解.[再练一题]1.已知椭圆的方程为 ...
