2．3.1 抛物线及其标准方程[学习目标] 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线的方程．[知识链接]如图，我们在黑板上画一条直线 EF，然后取一个三角板，将一条拉链 AB 固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在 C 点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF 上，在拉锁 D 处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．画出的曲线是什么形状？点 D 在移动过程中，满足什么条件？答案 抛物线 |DA|＝|DC|[预习导引]1．抛物线的定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线．2．抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y 2 ＝ 2 px ( p >0) (，0)x＝－y 2 ＝－ 2 px ( p >0) (－，0)x＝x 2 ＝ 2 py ( p >0) (0，)y＝－x 2 ＝－ 2 py ( p >0) (0，－)y＝要点一 求抛物线的标准方程例 1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点为(－2,0)；(2)准线为 y＝－1；(3)过点 A(2,3)；(4)焦点到准线的距离为.解 (1)由于焦点在 x 轴的负半轴上，且＝2，∴p＝4，∴抛物线标准方程为 y2＝－8x.(2) 焦点在 y 轴正半轴上，且＝1，∴p＝2，∴抛物线标准方程为 x2＝4y.(3)由题意，抛物线方程可设为 y2＝mx(m≠0)或 x2＝ny(n≠0)，将点 A(2,3)的坐标代入，得 32＝m·2,22＝n·3，∴m＝，n＝.∴所求抛物线方程为 y2＝x 或 x2＝y.(4)由焦点到准线的距离为，可知 p＝.∴所求抛物线方程为y2＝5x 或 y2＝－5x 或 x2＝5y 或 x2＝－5y.规律方法 求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出 p 值即可．若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．焦点在x 轴上的抛物线方程可设为 y2＝ax(a≠0)，焦点在 y 轴上的抛物线方程可设为 x2＝ay(a≠0)．跟踪演练 1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1) 过点(3，－4)；(2) 焦点在直线 x＋3y＋15＝0 上．解 (1)方法一 点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为 y2＝2px (p>0)或 x2＝－2p1y (p1>0)．把点(3，－4)的坐标分别代入 y2＝2px 和 x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即 2p＝，2p1＝.∴所求抛物线的标准方程为 y2＝x 或 x2＝－y.方法二 设抛物线的方程为 y2＝ax (a≠0)或 x2＝by (b≠0...
