第 2 课时 双曲线的几何性质及应用学习目标 1.理解直线与双曲线的位置关系.2.会求解弦长问题．知识点一 直线与双曲线的位置关系思考 直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么，直线与双曲线相切，能用这个方法判断吗？答案 不能．梳理 设直线 l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线 C：－＝1(a＞0，b＞0)，②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)当 b2－a2k2＝0，即 k＝±时，直线 l 与双曲线 C 的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．(2)当 b2－a2k2≠0，即 k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．知识点二 弦长公式若斜率为 k(k≠0)的直线与双曲线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝＝.(1)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．(×)(2)过点 A(1,0)作直线 l 与双曲线 x2－y2＝1 只有一个公共点，这样的直线可作 2 条．(×)(3)直线 l：y＝x 与双曲线 C：2x2－y2＝2 有两个公共点．(√)类型一 直线与双曲线位置关系例 1 已知双曲线 x2－y2＝4，直线 l：y＝k(x－1)，试确定满足下列条件的实数 k 的取值范围．(1)直线 l 与双曲线有两个不同的公共点；(2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线 l 与双曲线没有公共点．考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的位置关系解 联立消去 y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)当 1－k2≠0，即 k≠±1 时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4×(4－3k2)．(1)由得－＜k＜且 k≠±1，此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个不同的公共点．(2)由得 k＝±，此时方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且只有一个公共点，当 1－k2＝0，即 k＝±1 时，直线 l 与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为 2x＝5，故方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点．故当 k＝±或±1 时，直线与双曲线有且只有一个公共点．(3)由得 k＜－或 k＞，此时方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点．反思与感悟 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为 0 时，直线与渐近线平行的特殊情况．(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目...
