高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的几何性质教学案 新人教B版选修1-1-新人教B版高二选修1-1数学教学案VIP专享

2．3.2 抛物线的几何性质[学习目标] 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．[知识链接]类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线 y2＝2px (p>0)的范围、对称性、顶点、离心率．怎样用方程验证？答案 (1)范围：x≥0，y∈R；(2)对称性：抛物线 y2＝2px (p>0)关于 x 轴对称；(3)顶点：抛物线 y2＝2px(p>0)的顶点是坐标原点；(4)离心率：抛物线上的点 M 到焦点的距离和它到准线的距离的比叫抛物线的离心率．用 e表示，由定义可知 e＝1.[预习导引]1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形性质范围x ≥0 ，y∈Rx ≤0 ，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y ≤ 0对称轴x 轴x 轴y 轴y 轴顶点(0,0)离心率e＝12．焦点弦直线过抛物线 y2＝2px (p>0)的焦点 F，与抛物线交于 A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝x1＋ x 2＋ p .3．直线与抛物线的位置关系直线 y＝kx＋b 与抛物线 y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于 x 的方程 k 2 x 2 ＋ 2( kb － p ) x ＋ b 2 ＝ 0 的解的个数．当 k≠0 时，若 Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当 Δ＝0 时，直线与抛物线有一个公共点；当 Δ<0 时，直线与抛物线没有公共点．当 k＝0 时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．直线斜率不存在时，依据图象判断公共点个数．要点一 抛物线的几何性质例 1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 9x2＋4y2＝36 短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为 3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．解 椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在 x 轴上，∴抛物线的对称轴为 x 轴，∴设抛物线的方程为 y2＝2px 或 y2＝－2px(p>0)． 抛物线的焦点到顶点的距离为 3，即＝3，∴p＝6.∴抛物线的标准方程为 y2＝12x 或 y2＝－12x，其准线方程分别为 x＝－3 或 x＝3.规律方法 (1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程．跟踪演练 1 已知双曲线方程是－＝1，求...