高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 抛物线 2.2.2 抛物线的简单性质（1）导学案 北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学学案VIP专享

2.2.2 抛物线的简单性质(一)学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等简单性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.知识点一 抛物线的简单性质思考 1 类比椭圆、双曲线的简单性质，结合图像，你能说出抛物线 y2＝2px(p>0)中 x 的范围、对称性、顶点坐标吗？答案 范围 x≥0，关于 x 轴对称，顶点坐标(0，0).思考 2 参数 p 对抛物线开口大小有何影响？答案 因为过抛物线的焦点 F 且垂直于对称轴的弦的长度是 2p，所以 p 越大，开口越大.梳理 标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形性质范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x 轴y 轴顶点(0 ， 0) 离心率e＝1知识点二 焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y2＝2px(p>0)|AB|＝x1＋x2＋py2＝－2px(p>0)|AB|＝p－(x1＋x2)x2＝2py(p>0)|AB|＝y1＋y2＋px2＝－2py(p>0)|AB|＝p－(y1＋y2)类型一 抛物线简单性质的应用例 1 已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 l 过 F 且垂直于 x 轴，l 与抛物线交于 A，B 两点，O为坐标原点，若△OAB 的面积等于 4，求此抛物线的标准方程.解 由题意，设抛物线方程为 y2＝2mx(m≠0)，焦点 F(，0).直线 l：x＝，所以 A，B 两点坐标为(，m)，(，－m)，所以|AB|＝2|m|.因为△OAB 的面积为 4，1所以·||·2|m|＝4，所以 m＝±2.所以抛物线的标准方程为 y2＝±4x.引申探究 等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线 y2＝2px(p>0)，O 为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB 的面积是___________________________________________________________.答案 4p2解析 因为抛物线的对称轴为 x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线 AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线 OA 与 x 轴的夹角为 45°.由方程组得或所以易得 A，B 两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，－2p).所以|AB|＝4p，所以 S△AOB＝×4p×2p＝4p2.反思与感悟 把握三个要点确定抛物线简单性质(1)开口：由抛物线标准方程看图像开口，关键是明确二次项是 x 还是 y，一次项的系数是正还是负.(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴.(3)定值：焦点到准线的距离为 p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为 2p；离心率恒等于 1.跟踪训练 1 已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点 P 到准线及对称...