高中数学 第二章 数列 2.3.2 等比数列的前N项和课堂探究学案 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学学案VIP专享

2.3.2 等比数列的前 N 项和课堂探究一、错位相减法的实质及应用剖析：(1)用错位相减法求等比数列前 n 项和的实质是把等式两边同乘等比数列的公比q，得一新的等式，错位相减求出 Sn－qSn，这样可以消去大量的“中间项”，从而能求出 Sn．当 q＝1 时， Sn＝na1，当 q≠1 时，Sn＝．这是分段函数的形式，分段的界限是 q＝1．(2)对于形如{xn·yn}的数列的和，其中{xn}为等差数列，{yn}为等比数列，也可以用错位相减法求和．错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题．(3)利用这种方法时，要注意对公比的分类讨论．二、等比数列的前 n 项和公式的推导(首项为 a1，公比 q≠1)剖析：除了书上用到的错位相减法之外，还有以下方法可以求等比数列的前 n 项和．(1)等比性质法 ＝＝＝…＝＝q，∴＝q，即＝q，解得 Sn＝＝．(2)裂项相消法Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＝＋＋＋…＋＝－＝．(3)拆项法Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＝a1＋q(a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2)＝a1＋q(a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1－a1qn－1)，∴Sn＝a1＋q(Sn－a1qn－1)＝a1＋q(Sn－an)．解得 Sn＝＝．三、教材中的“？”例 2 中，有别的解法吗？将这个数列的前 8 项倒过来排，试一试．剖析： S8＝27＋26＋25＋…＋2＋1，∴S8＝1＋2＋22＋…＋26＋27＝＝28－1＝255．此题说明了在一个等比数列{an}中，若为有限项，如 a1，a2，…，an，则 an，an－1，…，a2，a1也是等比数列，其公比为原数列公比的倒数．题型一 等比数列的前 n 项和公式的应用【例 1】 在等比数列{an}中，(1)已知 a1＝3，q＝2，求 a6，S6；(2)已知 a1＝－1，a4＝64，求 q 和 S4；(3)已知 a3＝，S3＝，求 a1，q．分析：在等比数列的前 n 项和公式中有五个基本量 a1，an，q，n，Sn，只要已知任意三个，就可以求出其他两个．解：(1)a6＝a1q5＝3×25＝96．S6＝＝＝189．(2) a4＝a1q3，∴64＝－q3．∴q＝－4，∴S4＝＝＝51．(3)由题意，得1②÷①，得＝3，∴2q2－q－1＝0，∴q＝1 或 q＝－．当 q＝1 时，a1＝；当 q＝－时，a1＝6．反思：在等比数列{an}中，首项 a1与公比 q 是两个最基本的元素；有关等比数列的问题，均可化成关于 a1，q 的方程或方程组求解．解题过程中，要注意：(1)选择适当的公式；(2)利用等比数列的有关性质；(3)注意在使用等比数列前 n 项和公式时，要考虑 q 是否...