2.3.2.2 直线与双曲线的位置关系自主预习·探新知情景引入 如图所示，某村在 P 处有一堆肥，今要把此堆肥料沿道路 PA 或 PB 送到成矩形的一块田ABCD 中去，已知 PA＝100 m，PB＝150 m，BC＝60 m，∠APB＝60°，能否在田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路 PA 送肥较近而另一侧的点则沿 PB 送肥较近？如果能，请说出这条界线是什么曲线，并求出它的方程．新知导学 1．直线与双曲线的位置关系一般地，设直线 l：y＝kx＋m(m≠0)①双曲线 C：－＝1(a>0，b>0)②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)当 b2－a2k2＝0，即 k＝±时，直线 l 与双曲线的渐近线__平行__，直线与双曲线 C 相交于__一点__.(2)当 b2－a2k2≠0，即 k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ>0⇒直线与双曲线有__两个__公共点，此时称直线与双曲线__相交__；Δ＝0⇒直线与双曲线有__一个__公共点，此时称直线与双曲线__相切__；Δ<0⇒直线与双曲线__没有__公共点，此时称直线与双曲线__相离__.2．弦长公式斜率为 k(k≠0)的直线 l 与双曲线相交于 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AB|＝__| x 1－ x 2|__.＝＝|y1－y2|＝.预习自测 1．直线 y＝(x－)与双曲线－y2＝1 交点个数是( B )A．0 B．1 C．2 D．4[解析] 直线与渐近线平行，∴有一个交点．2．若直线 x＝a 与双曲线－y2＝1 有两个交点，则 a 的值可以是( A )A．4 B．2 C．1 D．－2[解析] 因为在双曲线－y2＝1 中，x≥2 或 x≤－2，所以若 x＝a 与双曲线有两个交点，则 a>2 或 a<－2，故只有 A 符合题意．3．(2020·黑龙江省学业水平考试)若直线 l：x－2y＝0 与双曲线 x2－ay2＝4(a＞0)的右支仅有一个公共点，则 a 的取值范围是( C )A．(4，＋∞) B．[4，＋∞)C．(0,4) D．(0,4][解析] 由双曲线方程为：x2－ay2＝4(a＞0)，可得渐近线方程：x＝±y，直线方程为 l：x－2y＝0 且与双曲线的右支仅有一个公共点，可得：＜2，解得：0＜a＜4，故选 C．4．直线 l 与双曲线 x2－4y2＝4 相交于 A、B 两点，若点 P(4,1)为线段 AB 的中点，则直线l 的方程是__x － y － 3 ＝ 0 __.[解析] 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝8，y1＋y2＝2， x－4y＝4，x－4y＝4，两式相减可得：(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴8(x1－x2)－8(y1－y2)＝0，∴kAB＝1，∴直线的方程为 y－1＝1(x－4)，即 x－...
