2.4 等比数列（2）学习目标 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法．知识点一 等比数列通项公式的推广思考 1 我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形： an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.等比数列也有类似变形吗？答案 在等比数列中，由通项公式 an＝a1qn－1，得＝＝qn－m，所以 an＝am·qn－m(n，m∈N*)．思考 2 我们知道等差数列的通项公式可以变形为 an＝dn＋a1－d，其单调性由公差的正负确定；等比数列的通项公式是否也可做类似变形？答案 设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q.则 an＝a1qn－1＝·qn，其形式类似于指数型函数，但 q 可以为负值．由于 an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)，所以{an}的单调性由 a1，q，q－1 的正负共同决定．梳理 公比为 q 的等比数列{an}中，an＝a1qn－1＝·qn.{an}的单调性由 a1，q 共同确定如下：当或时，{an}是递增数列；当或时，{an}是递减数列；q＜0 时，{an}是摆动数列，q＝1 时，{an}是常数列．知识点二 由等比数列衍生的等比数列思考 等比数列{an}的前 4 项为 1,2,4,8，下列判断正确的是(1){3an}是等比数列；(2){3＋an}是等比数列；(3){}是等比数列；(4){a2n}是等比数列．答案 由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确．梳理 (1)在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：123，，， ，，nkkkkaaaa……，若k1，k2，k3 ，…，kn，…成等差数列，那么123，，，…，nkkkkaaaa，…是等比数列．(2)如果{an}，{bn}均为等比数列，那么数列{}，{an·bn}，{}，{|an|}仍是等比数列．知识点三 等比数列的性质思考 在等比数列{an}中，a＝a1a9是否成立？a＝a3a7是否成立？a＝an－2an＋2(n>2，n∈N*)是否成立？答案 a5＝a1q4，a9＝a1q8，∴a1a9＝aq8＝(a1q4)2＝a，∴a＝a1a9成立．同理 a＝a3a7成立，a＝an－2·an＋2也成立．梳理 一般地，在等比数列{an}中，若 m＋n＝s＋t，则有 am·an＝as·at(m，n，s，t∈N*)．若 m＋n＝2k，则 am·an＝a(m，n，k∈N*)．类型一 等比数列的判断方法例 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝n－5an－85，n∈N*，证明：{an－1}是等比数列．1证明 当 n＝1 时，a1＝S1＝1－5a1－85，解得 a1＝－14， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝1－5an＋5an－1，∴6an＝5an－1＋1，an－1＝(an－1－1)，∴{an－1}是首项为－15，公比为的等比数列．反思与感悟 判断一个数...
