高中数学 第二章 平面向量 2.5 向量的应用学案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学学案

2.5 向量的应用 [学习目标] 1.能运用平面向量的知识解决一些简单的几何问题与简单的物理问题.2.掌握两种基本方法——选择基向量法和建系坐标法.3.通过对一些典型问题的研究和讨论，进一步复习巩固平面向量的基础知识、基本方法．[知识链接]1．向量可以解决哪些常见的几何问题？答 (1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等位置关系．(2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题．2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？答 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．[预习导引]1．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 .(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋ y 1y2＝ 0 .(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式 cos θ＝＝ .(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝.2．向量方法在物理中的应用(1)力、速度、加速度、位移都是向量．(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减运算，运动的叠加亦用到向量的合成．(3)动量 mν 是数乘向量．(4)功即是力 F 与所产生位移 s 的数量积.要点一 向量在平面几何中的应用例 1 如图，已知 O 为△ABC 所在平面内一点，且满足|OA|2＋|BC|2＝|OB|2＋|CA|2＝|OC|2＋|AB|2，求证：O 为△ABC 的垂心．证明 设OA＝a，OB＝b，OC＝c，则BC＝c－b，CA＝a－c，AB＝b－a，由题设：|OA|2＋|BC|2＝|OB|2＋|CA|2＝|OC|2＋|AB|2，化简：a2＋(c－b)2＝b2＋(a－c)2＝c2＋(b－a)2，得 c·b＝a·c＝b·a，从而AB·OC＝(b－a)·c＝b·c－a·c＝0，∴AB⊥OC.同理BC⊥OA，CA⊥OB，所以 O 为△ABC 的垂心．规律方法 垂直问题的解决，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的内积为零，而在此过程中，则需运用线性运算，将目标向量用基底表示，通过基底的内积运算式使问题获解．跟踪演练 1 如图，点 O 是△ABC 的外心，E 为三角形内一点，满足OE＝OA＋OB＋OC，求证：AE⊥BC.证明 O 为外心，∴|OC|＝|OB|. BC＝OC－OB，AE＝OE－OA＝(OA＋OB＋OC)－OA＝OB＋OC，∴AE·BC＝(...