2.4.1 抛物线的标准方程课堂探究探究一 抛物线的定义及应用抛物线定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点；一个定点 F；一条定直线 l；一个定值．抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，因此两者可以相互转化，这也是利用抛物线定义解题的方便之处．【典型例题 1】 设 P 为抛物线 y2＝4x 上的一个动点．(1)求点 P 到点 A(－1,1)的距离与点 P 到直线 x＝－1 的距离之和的最小值；(2)若 B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．思路分析：本题主要考查抛物线中的最值问题，利用数形结合的思想寻求解题思路．解：(1)抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1.因为点 P 到准线 x＝－1 的距离等于点 P 到 F(1,0)的距离，所以问题转化为：在曲线上求一点 P，使点 P 到 A(－1,1)的距离与 P 到 F(1,0)的距离之和最小．连接 AF，如图(1)所示，图(1)显然 P 是 AF 与抛物线的交点，最小值为|AF|＝. (2)同理|PF|与点 P 到准线的距离相等．如图(2)所示，图(2)过 B 作 BQ⊥准线于 Q，交抛物线于点 P1.由题意知|P1Q|＝|P1F|，所以|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.所以|PB|＋|PF|的最小值为 4.点评：求圆锥曲线上到两定点的距离之和最小的点的位置时，通常有两种情况：(1)当两定点在曲线两侧时，连接两定点的线段与曲线的交点即为所求点；(2)当两定点在曲线同侧时，由圆锥曲线定义作线段的等量转换，转换为(1)的情形即可．1探究二 求抛物线的标准方程、焦点、准线方程求抛物线的标准方程时，从形式上看，只需要求出参数 p 即可．而要求抛物线的焦点坐标、准线方程，则首先要将抛物线方程化成标准形式，求出 p 的值后，再写出焦点和准线方程．【典型例题 2】 已知抛物线的焦点在 x 轴上，抛物线上的点 M(3，m)到焦点的距离是 5.(1)求抛物线方程和 m 的值．(2)求抛物线的焦点坐标和准线方程．思路分析：设出抛物线方程，利用抛物线的定义得出 p 的关系式，求出 p 的值，再用代入法求 m 的值．解：(1)设抛物线的标准方程为 y2＝2px(p＞0)，焦点为 F，准线方程 x＝－，根据抛物线定义，点 M 到焦点的距离等于点 M 到准线的距离，则3＋＝5，解得 p＝4.因此抛物线方程为 y2＝8x.又点 M(3，m)在抛物线上，所以 m2＝24，解得 m＝±2.故所求的抛物线方程为 y2＝8x，m 的值为±2.(2)因为 p＝4，所以抛物线的焦点坐标为(2,0)，准线方程是 x＝－2.探究三 易错...
