高中数学 第二章 平面向量 2.6 平面向量数量积的坐标表示课堂导学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学学案

2.6 平面向量数量积的坐标表示课堂导学三点剖析1.两个向量数量积的坐标【例 1】 已知：a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)(0＜α＜β＜π)求证：a+b 与 a-b 互相垂直.思路分析：要证（a+b）⊥(a-b),只要证两者的数量积为 0，解题过程中要用到三角函数知识证法一：由已知 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),有 a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ),a-b=（cosα-cosβ,sinα-sinβ）,又(a+b)·(a-b)=(cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=0,所以（a+b）⊥(a-b).证法二： a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=(cos2α+sin2α)-(cos2β+sin2β)=1-1=0.∴(a+b)⊥(a-b).友情提示 两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一.各个击破类题演练 1已知 A（1，2），B（2，3），C（-2，5），求证：△ABC 是直角三角形证明: =（2-1，3-2）=（1，1）,=（-2-1，5-2）=（-3，3）,∴·=1×(-3)+1×3=0,∴⊥即 AB⊥AC∴△ABC 是直角三角形.变式提升 1已知 a=(4,2),求与 a 垂直的单位向量的坐标.解析：设 b=(x,y)为所求单位向量则 x2+y2=1①又 a⊥b∴a·b=(4,2)·(x,y)=4x+2y=0∴4x+2y=0②由①②得∴b=()或 b=().2.建立向量与坐标间的关系，体现数形结合思想【例 2】 已知 a、b 是两个非零向量，同时满足|a|=|b|=|a-b|，求 a 与 a+b 的夹角.思路分析：本题思路较多.可以由条件求出 a·(a+b)及|a+b|代入夹角公式.也可以运用向量加法的几何意义，构造平行四边形求解.解法一：根据|a|=|b|，有|a|2=|b|2，又由|b|=|a-b|,得|b|2=|a|2-2a·b+|b|2，∴a·b=|a|2.而|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=3|a|2,∴|a+b|=|a|.设 a 与 a+b 的夹角为 θ，则cosθ=，∴θ=30°.解法二：根据向量加法的几何意义，在平面内任取一点 O，作=a，=b，以 OA、OB为邻边作平行四边形 OACB. |a|=|b|，即||=||，∴OACB 为菱形，OC 平分∠AOB，这时=a+b，=a-b.而|a|=|b|=|a-b|，即||=||=||.∴△AOB 为正三角形，则∠AOB=60°，于是∠AOC=30°，即 a 与 a+b 的夹角为 30°.友情提示 本题的二种解法是基于平面向量的二种不同的表示方法而产生的，这一点需要大家认真体会类题演练 2已知直角三角形的两直角边长分别为 4 和 6，试用向量求两直角边上的中线所成钝角的余弦值.解析：建立如右图所示的坐标系.则 A（4，0），B（0，6），E（2，0），F（0，3...