高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线及其标准方程学案 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学学案

2.4.1 抛物线及其标准方程学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导. 3.明确抛物线标准方程中 p 的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题.知识点一 抛物线的定义思考 1 平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？答案 连接两定点所得线段的垂直平分线.思考 2 平面内，到两个确定平行直线 l1，l2距离相等的点的轨迹是什么？答案 一条直线.思考 3 到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是什么？答案 抛物线.梳理 (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线.(2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为 M；一个定点 F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点 M 到点 F 的距离与它到定直线 l 的距离之比等于 1∶1).知识点二 抛物线的标准方程思考 抛物线的标准方程有何特点？答案 (1)以方程的解为坐标的点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p 为大于 0 的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于.梳理 由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0).现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)(，0)x＝－y2＝－2px(p>0)(－，0)x＝x2＝2py(p>0)(0，)y＝－x2＝－2py(p>0)(0，－)y＝类型一 抛物线的定义及理解例 1 (1)动点 M 的坐标满足方程 5＝|3x＋4y－12|，则动点 M 的轨迹是( )A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.以上都不对(2)已知点 P(x，y)在以原点为圆心的单位圆 x2＋y2＝1 上运动，则点 Q(x＋y，xy)的轨迹所在的曲线是________.(在圆、抛物线、椭圆、双曲线中选择一个作答)答案 (1)C (2)抛物线解析 (1)把方程 5＝|3x＋4y－12|转化为＝，设动点 M(x，y)，上式可看作动点 M 到原点的距离等于动点 M 到直线 3x＋4y－12＝0 的距离，所以动点 M 的轨迹是以原点为焦点，以直线 3x＋4y－12＝0 为准线的抛物线.(2)设动点 Q(x′，y′)，则有 x′＝x＋y， y′＝xy，又有 x2＋y2＝1，即(x＋y)2－2xy＝1，所以 x′2－2y′＝1，故 Q(x＋y，xy)的轨迹所在的曲线...