2.2.1 双曲线及其标准方程课堂导学三点剖析一、双曲线的定义【例 1】 已知双曲线的两个焦点 F1、F2之间的距离为 26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为 24，求双曲线的方程.解析：若以线段 F1F2所在的直线为 x 轴，线段 F1F2的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系，则双曲线的方程为标准形式.由题意得 2a=24,2c=26,∴a=12,c=13,b2=132-122=25.由于双曲线的焦点在 x 轴上，双曲线的方程为2514422yx=1.若以线段 F1、F2所在直线为 y 轴，线段 F1F2的垂直平分线为 x 轴，建立直角坐标系，则双曲线的方程为2514422xy=1.温馨提示求轨迹方程时，如果没有直角坐标系，应先建立适当的直角坐标系，求双曲线的标准方程就是求 a2、b2的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴.双曲线的焦点所在的坐标轴，不像椭圆那样看 x2、y2的分母的大小，而是看 x2、y2的系数的正、负.二、求双曲线的标准方程【例 1】 求满足下列条件的双曲线的标准方程.(1)经过点 A(1，3104)，且 a=4;(2)经过点 A(2，332)、B(3，-22 ).解析：(1)若所求双曲线方程为12222 byax(a＞0,b＞0),则将 a=4 代入，得22216byx =1,又点 A(1,3104)在双曲线上，∴29160161b=1,解得 b2＜0,不合题意，舍去.若所求双曲线方程为2222bxay =1(a＞0,b＞0),同上，解得 b2=9,∴双曲线的方程为91622xy =1.(2)设双曲线方程为 mx2+ny2=1(mn＜0), 点 A(2,332)、B(3，-22 )在双曲线上，1∴.41,31.189,1344nmnmnm解之，得∴所求双曲线的方程为4322yx =1.温馨提示求双曲线的标准方程首先要做的是确定焦点的位置.如果不能确定，解决方法有两种：一是对两种情形进行讨论，有意义的保留，无意义的舍去；二是设双曲线方程为 mx2+ny2=1(mn＜0),解出的结果如果是 m＞0,n＜0,那么焦点在 x 轴上，如果 m＜0,n＞0,那么焦点在 y 轴，在已知双曲线的两个焦点及经过一个点时，可以用双曲线的定义，直接求出 a.应加强练习，注意体会.三、确定方程表示的曲线类型【例 3】 已知方程 kx2+y2=4，其中 k 为实数，对于不同范围的 k 值分别指出方程所表示的曲线类型.解析：(1)当 k=0 时，y=±2,表示两条与 x 轴平行的直线.(2)当 k=1 时，方程为 x2+y2=4，表示圆心在原点，半径为 2 的圆.(3)当 k＜0 时，方程为kxy4422=1，表示焦点在 y 轴上的双曲线.(4)当 0＜k＜1 时，方程为4422ykx =1，表示焦...
