§6 平面向量数量积的坐标表示知识点 平面向量数量积的做坐标运算及方向向量[填一填]1．平面向量数量积的坐标运算设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2), a 与 b 的夹角为 θ，则(1) a·b＝x1y2+x2y1；(2) |a|＝；(3)若 a⊥b，则 x1x2＋ y 1y2＝ 0 ；(4)cosθ＝.2．直线的方向向量给定斜率为 k 的直线 l，则向量 m＝(1，k)与直线 l 共线，我们把与直线 l 共线的非零向量 m 称为直线 l 的方向向量．[答一答]如何判断 a＝(x1，y1)与 b＝(x2，y2)共线与垂直？提示：(1)判断共线有两种方法：第一种方法是向量共线的判定定理，b＝λa(a≠0)⇔a∥b.第二种方法是坐标共线的条件，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.(2)判断向量垂直的方法：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.1．对向量数量积的坐标运算与度量公式的两点说明(1)向量的坐标运算实现了向量运算的代数化，其将数与形紧密联系在一起，使向量的运算方式得到拓展．(2)向量的模的坐标运算的实质向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如 a＝(x，y)，则在平面直角坐标系中，一定存在点 P(x，y)，使得OP＝a ＝(x，y)，故|OP|＝|a|＝，即|a|为点 P 到原点的距离；同样若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，故|AB|＝，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．2．在不同表示形式下求向量夹角的策略(1)当 a，b 是非坐标形式时，求 a 与 b 的夹角，需求出 a·b，|a|和|b|或直接得出它们之间的关系．(2)若 a，b 是坐标形式，则可直接利用公式 cosθ＝求解．类型一 平面向量数量积及夹角的坐标表示 【例 1】 已知向量 a＝(1,2)，b＝(3,4)，求 a·b，(a－b)·(2a＋3b)．【思路探究】 (1)利用平面向量数量积的坐标表示可直接求 a·b.(2)(a－b)·(2a＋3b)可先展开，再求值，也可先求(a－b)及(2a＋3b)的坐标，再求值．【解】 法 1： a＝(1,2)，b＝(3,4)，∴a·b＝(1,2)·(3,4)＝1×3＋2×4＝11，(a－b)·(2a＋3b)＝2a2＋a·b－3b2＝2|a|2＋a·b－3|b|2＝2×(12＋22)＋11－3×(32＋42)＝－54.法 2： a＝(1,2)，b＝(3,4)，∴a·b＝11.又 a－b＝(1,2)－(3,4)＝(－2，－2)，2a＋3b＝2(1,2)＋3(3,4)＝(11,16)，∴(a－b)·(2a＋3b)＝(－2，－2)·(11,16)＝(－2)×11＋(－2)×16＝－54.规律方法 (1)涉及向量数量积的坐标表示一般利用公式 a·b＝x1x2＋y1y2求解，其...
