高中数学 第二章 平面向量 2.6 平面向量数量积的坐标表示知识导航学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学学案

§6 平面向量数量积的坐标表示知识梳理1.向量数量积的坐标表示已知 a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，则 a·b=a1b1+a2b2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.2.两个向量垂直的坐标表示已知 a=(a1，a2)，b=(b1,b2)，则 a⊥ba1b1+a2b2=0；a⊥b (a1,a2)∥(-b2,b1).3.向量的长度、距离和夹角公式（度量公式） (1)长度公式：已知 a=(a1,a2)，则|a|=.(2)距离公式：如果 A(x1，y1），B(x2，y2)，则||=.(3)夹角公式：已知 a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，则两个向量 a、b 的夹角为 cos〈a,b〉=.知识导学1.复习平面向量的坐标表示，向量共线和垂直的条件，向量的长度和夹角的概念.2.本节的重点是向量数量积的应用，难点是灵活应用数量积解决有关问题.疑难突破1.为什么向量的数量积能用坐标表示？剖析：由于向量能用坐标表示，那么向量的数量积也能用坐标表示，因此其突破方法是利用平面向量的坐标表示来推导.设 a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，x 轴上单位向量 i，y 轴上单位向量 j，则 i·i=1，j·j=1，i·j=j·i=0. a=x1i+y1j,b=x2i+y2j，∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2=x1x2+y1y2,即 a·b=x1x2+y1y2.用坐标表示向量数量积体现了数与形的密切结合和相互转化的思想，进一步体会到数形结合思想在解决数学问题时所带来的便利.2.为什么（a·b）c=a(b·c)不成立？剖析：难点是总认为此等式成立.突破路径 1：否定一个等式，只需举一个反例即可；突破路径 2：利用数量积的几何意义来证明；突破路径 3：利用反证法通过向量数量积的坐标表示来证明等式不成立.方法一：举反例.如图 2-6-1 所示，设=a，=b，=c，且||=1，||=2，||=3，〈,〉=，〈, 〉=，则〈,〉=.∴a·b=|a||b|cos〈a，b〉=1，b·c=|b||c|cos〈b，c〉=3.∴(a·b)c=c，a(b·c)=3a.很明显 c=3a 不成立，图 2-6-1∴(a·b)c=a(b·c)不成立.再例如：a=(1,2)，b=(-3,4)，c=(6,-5),则(a·b)c= ［1×(-3)+2×4］(6,-5)=3(6,-5)=(18,-15),a(b·c)=(1,2)［-3×6+4×(-5)］=(-38)(1,2)=(-38,-72).∴(a·b)c=a(b·c)不成立.方法二：下面用向量数量积的几何意义来分析.由于向量的数量积是实数，则设 a·b=λ，b·c=μ.则(a·b)c=λc，a(b·c)=μa.由于 c，a 是任意向量，则 λc=μa 不成立.∴(a·b)c=a(b·c)不成立.方法三：下面用向量数量积的坐标表示来分析.设 a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，c=(x3,y3).则 a·b=x1x2+y1y2,b·c=x3x2+y3y2.∴(a·b)c=(x1x2+下标 y1y2...