高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程学案（含解析）新人教B版选修1-1-新人教B版高二选修1-1数学学案

2.2.1 双曲线及其标准方程学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．知识点一 双曲线的定义平面内到两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于定值 2a(大于 0 且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点二 双曲线的标准方程1．两种形式的标准方程焦点所在的坐标轴x 轴y 轴标准方程－＝1( a >0 ， b >0) －＝1( a >0 ， b >0) 图形焦点坐标F1( － c, 0) ， F2( c, 0) F1(0 ，－ c ) ， F2(0 ， c ) a，b，c 的关系式a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 2.焦点 F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若 x2项的系数为正，则焦点在 x 轴 上；若 y2项的系数为正，那么焦点在 y 轴 上．3．当双曲线的焦点位置不确定时，可设其标准方程为 Ax2＋By2＝1(AB<0)．4．标准方程中的两个参数 a 和 b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里的 b2＝c 2 － a 2 要与椭圆中的 b2＝a 2 － c 2 相区别．1．平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( × )2．在双曲线标准方程－＝1 中，a＞0，b＞0 且 a≠b.( × )3．在双曲线标准方程中，a，b 的大小关系是 a＞b.( × )题型一 求双曲线的标准方程例 1 求下列双曲线的标准方程．(1)与椭圆＋＝1 有公共焦点，且过点(－2，)；(2)焦距为 26，且经过点 M(0,12)；(3)过点 P，Q，且焦点在坐标轴上．解 (1)方法一 椭圆＋＝1 的焦点为 F1(0，－3)，F2(0,3)．设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则有解得故所求双曲线的方程为－＝1.方法二 由椭圆方程＋＝1 知焦点在 y 轴上，设所求双曲线方程为－＝1(16<λ<25)．因为双曲线过点(－2，)，所以－＝1，解得 λ＝20 或 λ＝7(舍去)，故所求双曲线的方程为－＝1.(2)因为双曲线经过点 M(0,12)，所以 M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在 y 轴上，且 a＝12.又 2c＝26，所以 c＝13，所以 b2＝c2－a2＝25.所以双曲线的标准方程为－＝1.(3)设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)．因为点 P，Q 在双曲线上，所以解得故所求双曲线方程为－＝1.反思感悟 待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是 x 轴...