高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的简单几何性质学案 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学学案VIP专享

2.4.2 抛物线的简单几何性质学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.知识点一 抛物线的范围思考 观察下列图形，思考以下问题：(1)观察焦点在 x 轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？(2)根据图形及抛物线方程 y2＝2px(p>0)如何确定横坐标 x 的范围？答案 (1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心.(2)由抛物线 y2＝2px(p>0)有所以 x≥0.所以抛物线 x 的范围为 x≥0.抛物线在 y 轴的右侧，当 x 的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.梳理 抛物线 y2＝2px(p>0)中，x∈[0 ，＋∞ ) ，y∈( －∞，＋∞ ) .抛物线 y2＝－2px(p>0)中，x∈( －∞， 0] ，y∈( －∞，＋∞ ) .抛物线 x2＝2py(p>0)中，x∈( －∞，＋∞ ) ，y∈[0 ，＋∞ ) .抛物线 x2＝－2py(p>0)中，x∈( －∞，＋∞ ) ，y∈( －∞， 0] .知识点二 四种形式的抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴x 轴x 轴y 轴y 轴焦点F(，0)F(－，0)F(0，)F(0，－)准线方程x＝－x＝y＝－y＝顶点坐标O(0，0)离心率e＝1通径长2p知识点三 直线与抛物线的位置关系直线 y＝kx＋b 与抛物线 y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于 x 的方程组解的个数，即二次方程 k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0 解的个数. 当 k≠0 时，若 Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若 Δ＝0 时，直线与抛物线有一个公共点；若 Δ<0 时，直线与抛物线没有公共点.当 k＝0 时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有 1 个公共点.类型一 依据抛物线的几何性质求标准方程例 1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 9x2＋4y2＝36 短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为 3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程.解 椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在 x 轴上，∴抛物线的对称轴为 x 轴，∴设抛物线的方程为 y2＝2px 或 y2＝－2px(p>0). 抛物线的焦点到顶点的距离为 3，即＝3，∴p＝6.∴抛物线的标准方程为 y2＝12x 或 y2＝－12x，...