2.5 等比数列的前 n 项和（2）学习目标 1.熟练应用等比数列前 n 项和公式的有关性质解题.2.会用错位相减法求和．知识点一 等比数列前 n 项和公式的函数特征思考 若数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n－1，那么数列{an}是不是等比数列？若数列{an}的前 n项和 Sn＝2n＋1－1 呢？答案 当 Sn＝2n－1 时，an＝＝n∈N*是等比数列；当 Sn＝2n＋1－1 时，an＝＝n∈N*，不是等比数列．梳理 当公比 q≠1 时，设 A＝，等比数列的前 n 项和公式是 Sn＝A(qn－1)．当公比 q＝1 时，因为 a1≠0，所以 Sn＝na1，Sn是 n 的正比例函数．知识点二 等比数列前 n 项和的性质思考 若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列吗？答案 设{an}的公比为 q，则Sn＝a1＋a2＋…＋an，S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n＝a1qn＋a2qn＋…＋anqn＝qnSn，S3n－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n＝an＋1qn＋an＋2qn＋…＋a2nqn＝qn(S2n－Sn)，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为 qn.梳理 等比数列{an}前 n 项和的三个常用性质(1)数列{an}为公比不为－1 的等比数列，Sn为其前 n 项和，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．(2)若{an}是公比为 q 的等比数列，则 Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．(3)若{an}是公比为 q 的等比数列，S 偶，S 奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n 项中，＝q；② 在其前 2n＋1 项中，S 奇－S 偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)．知识点三 错位相减法思考 在上一节，我们是如何求公比不为 1 的等比数列{an}的前 n 项和 Sn＝a1＋a2＋…＋an的？答案 在等式两端乘以公比，两式会出现大量的公共项，通过相减消去即可．梳理 如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前 n 项和时，一般使用如下方法：Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，①qSn＝a1b1q＋a2b2q＋…＋anbnq ＝a1b2＋a2b3＋…＋anbn＋1，②①－②得(1－q)Sn＝a1b1＋(a2－a1)b2＋(a3－a2)b3＋…＋(an－an－1)bn－anbn＋1＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1＝a1b1＋d－anbn＋1，1∴Sn＝＋d.上述方法称为“错位相减法”．类型一 等比数列前 n 项和公式的函数特征应用例 1 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝an－1(a 是不为零且不等于 1 的常数)，则数列{an}( )A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．是等差数列或等比数列D．既非等差数列，也非等比数列...
