2.2.1 椭圆及其标准方程课堂探究探究一 利用椭圆的定义解题椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点 M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点 M 到两焦点的距离之和必为 2a.椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应首先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．【典型例题 1】 设 F1，F2为椭圆＋＝1 的两个焦点，P 为椭圆上的一点，PF1⊥PF2，且|PF1|＞|PF2|，求的值．思路分析：利用椭圆的定义，结合直角三角形的三边关系即可求出|PF1|，|PF2|的值．解：因为 PF1⊥PF2，所以∠F1PF2为直角，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2.所以有解得|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以＝2.探究二 求椭圆的标准方程解决求椭圆的标准方程问题主要是“定位”与“定量”：“定位”是要确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”是确定 a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解．【典型例题 2】 求符合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在 y 轴上，且经过点(0,2)和(1,0)；(3)经过点 P(－2，1)，Q(，－2)．思路分析：应用待定系数法求椭圆的标准方程，要注意“定位”与“定量”．解：(1)因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．所以 2a＝＋＝10.所以 a＝5，所以 a2＝25.又 c＝4，所以 b2＝a2－c2＝25－16＝9.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以⇒所以所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.(3)设椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且 m≠n)，因为点 P(－2，1)，Q(，－2)在椭圆上，所以解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.点评：已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且 m≠n)的形式有两个优点：(1)列出的方程组中分母不含字母；(2)不用讨论焦点所在的坐标轴．探究三 求与椭圆有关的轨迹方程求与椭圆有关的轨迹方程常用两种方法：(1)定义法，即依据条件确定动点满足的几何1等式，联想椭圆的定义来确定；(2)代入法，即当问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，可选用代入法求轨迹方程．【典型例题 3】 如图，已知圆 A：(x＋3)2＋y2＝100，圆 A 内一定点 B(3,0)，圆 P 过点 B 且与圆 ...
