高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和（二）学案 新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学学案VIP专享

2.5 等比数列的前 n 项和（二）[学习目标] 1.熟练应用等比数列前 n 项和公式的有关性质解题.2.应用方程的思想解决与等比数列前 n 项和有关的问题．知识点一 等比数列前 n 项和的变式1．等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，当公比 q≠1 时，Sn＝＝＝＝－；当 q＝1 时，Sn＝na1．2．当公比 q≠1 时，等比数列的前 n 项和公式是 Sn＝，它可以变形为 Sn＝－·qn＋，设 A＝，上式可写成 Sn＝－ Aq n ＋ A ．由此可见，非常数列的等比数列的前 n 项和 Sn是由关于 n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比 q＝1 时，因为 a1≠0，所以 Sn＝na1是 n 的正比例函数(常数项为 0 的一次函数)．思考 在数列{an}中，an＋1＝can(c 为非零常数)且前 n 项和 Sn＝3n－1＋k，则实数 k 等于________．答案 －解析 由题{an}是等比数列，∴3n的系数与常数项互为相反数，而 3n的系数为，∴k＝－.知识点二 等比数列前 n 项和的性质1．连续 m 项的和(如 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m)仍构成等比数列．(注意：q≠－1 或 m 为奇数)2．Sm＋n＝Sm＋qmSn(q 为数列{an}的公比)．3．若{an}是项数为偶数、公比为 q 的等比数列，则＝q．思考 在等比数列{an}中，若 a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，则 S6等于( )A．140 B．120C．210 D．520答案 A解析 S2＝20，S4－S2＝40，∴S6－S4＝80，∴S6＝S4＋80＝S2＋40＋80＝140.题型一 等比数列前 n 项和的性质例 1 (1)等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，则 S4＝______．(2)等比数列{an}共有 2n 项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比 q＝____．答案 (1)28 (2)2解析 (1) 数列{an}是等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也是等比数列，即 7，S4－7，91－S4也是等比数列，∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得 S4＝28 或 S4＝－21.又 S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2·(1＋q2)＞0，∴S4＝28.(2)由题 S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，∴S 奇＝－80，S 偶＝－160，∴q＝＝2.反思与感悟 解决有关等比数列前 n 项和的问题时，若能恰当地使用等比数列前 n 项和的相关性质，常常可以避繁就简．不仅可以减少解题步骤，而且可以使运算简便，同时还可以避免对公比 q 的讨论．解题中把握好等比数列前 n 项和性质的使用条件，并结合题设条件寻找使用性质的切入点，...