2.5 等比数列的前 n 项和（一）[学习目标] 1.掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前 n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．知识点一 等比数列前 n 项和公式1．等比数列前 n 项和公式(1)公式：Sn＝(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略 q＝1 的情况．2．等比数列前 n 项和公式的使用公比 q≠1 时，公式 Sn＝适用于已知 a1，q 和项数 n，而公式 Sn＝更适用于已知 a1，q 和末项an，使用时依据条件灵活选用．思考 设 f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1 (n∈N*)，则 f(n)等于( )A.(8n－1) B.(8n＋1－1)C.(8n＋2－1) D.(8n＋3－1)答案 B解析 f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1＝＝(8n＋1－1)．知识点二 错位相减法1．推导等比数列前 n 项和的方法一般地，等比数列{an}的前 n 项和可写为：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①用公比 q 乘①的两边，可得qSn＝a1＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，②由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，整理得 Sn＝(q≠1)．2．我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列{an·bn}前 n 项和的求解，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且 q≠1.题型一 等比数列基本量的计算例 1 在等比数列{an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求 Sn；(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求 S5；(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求 q.解 (1)由题意知解得或从而 Sn＝×5n＋1－或 Sn＝.(2)方法一 由题意知解得从而 S5＝＝.方法二 由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得 q3＝，从而 q＝.又 a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以 a1＝8，从而 S5＝＝.(3)因为 a2an－1＝a1an＝128，所以 a1，an是方程 x2－66x＋128＝0 的两根．从而或又 Sn＝＝126，所以 q 为 2 或.反思与感悟 (1)在等比数列{an}的五个量 a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组求解，就能求出另两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．(2)在解决与前 n 项和有关的问题时，首先要对公比 q＝1 或 q≠1 进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．跟踪训练 1 在等比数列{an}中，(1)若 a1＝，an＝16，Sn＝11，求 n 和 q；(2)已知 S4＝1，S8＝17，求 an.解 (1)由 Sn＝得 11＝，∴q＝－2，又由 an＝a1qn－1得 16＝(－2)n－1，∴n＝5.(2)若 q＝1，则 S8＝2S4，不合题意，∴q≠1，∴S4＝＝1，S8＝＝17，两式相除得＝17＝1＋q4，∴q＝2 或 q＝－2，∴a1＝或 a1＝－，∴an...
