2.5 直线与圆锥曲线课堂导学三点剖析一、利用直线与圆锥曲线的位置关系求字母的取值或取值范围【例 1】 已知曲线 C:x2－y2＝１及直线 l:y=kx-1.(1)若 l 与 C 有两个不同的交点，求实数 k 的取值范围；(2)若 l 与 C 交于 A、B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为 2，求实数 k 的值.解:(1)由.1,122kxyyx消去 y，得(1－ｋ 2)ｘ 2＋２ｋｘ－２＝０.由,0)1(84,01222kkk得 k 的取值范围为（－2，－１）∪（－１，１）∪（１，2）.（2）设Ａ（ｘ 1，ｙ 1）、Ｂ（ｘ 2，ｙ 2），由（1）得ｘ 1＋ｘ 2＝212kk，ｘ 1ｘ 2＝212k.又 l 过点 D(0，-1),∴Ｓ△ＯＡＢ＝Ｓ△ＯＡＤ＋Ｓ△ＯＢＤ＝ 21 ｜ｘ 1｜＋１２｜ｘ 2｜＝ 21 ｜ｘ 1－ｘ 2｜＝2 .∴（ｘ 1－ｘ 2）2＝（２2）2,即22218)12(kkk＝８.∴ｋ＝０或 k=±26 .温馨提示 一般地,在讨论直线和圆锥曲线位置关系时,先联立方程组,再消去 x(或 y),得到关于y(或 x)的方程,如果是直线与圆或椭圆则无需讨论二次项系数是否为零(一定不为零),直接考虑 Δ 的情况即可;如果是直线与双曲线或抛物线则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况,这是要特别注意的问题.另外注意直线斜率不存在时的情形.二、有关曲线的弦长问题【例 2】椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y-1=0 相交于 A、B,C 是 AB 的中点,若|AB|=22,OC 的斜率为22 ,求椭圆的方程.解析:设 A(x1,y1)、B(x2,y2),代入椭圆方程并作差得 a(x1+x2)(x1-x2)+b(y1+y2)(y1-y2)=0.1而2121xxyy =-1, 2121xxyy=kOC=22 ,代入上式可得 b=2 a.再由|AB|=2|x2-x1|=22,其中 x1\x2是方程(a+b)x2-2bx+b-1=0 的两根,故(bab2)2-4·bab 1 =4,将 b=2 a 代入得 a= 31 ,∴b=32 .∴所求椭圆的方程是 x2+2 y2=3.温馨提示 利用设点代入、作差借助斜率的解题方法，称作“差点法”，是解决直线与圆锥曲线位置关系常用方法.三、最值问题【例 3】 已知直线 l：y=2x-4 交抛物线 y2=4x 于 A、B 两点，试在抛物线 AOB 这段曲线上求一点P，使△PAB 的面积最大，并求出这个最大面积.分析:先求出弦长|AB|，再求出 P 点到直线 AB 的距离，从而可表示出△PAB 的面积，再求最值即可.解:由,4,422xyxy解得 A（4，4），B（1，-2），知|AB|=3 5 ，设 P（x0，y0）为抛物线 AOB 这条曲线上一点，d 为 P 到直...
