2.2.1 椭圆及其标准方程(二)学习目标 加深理解椭圆定义及标准方程，能够熟练求解与椭圆有关的轨迹问题.知识点 椭圆标准方程的认识与推导思考 1 椭圆标准方程的几何特征与代数特征分别是什么？答案 标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴或 y 轴上.标准方程的代数特征：方程右边为 1，左边是关于与的平方和，并且分母为不相等的正值.思考 2 依据椭圆方程，如何确定其焦点位置？答案 把方程化为标准形式，与 x2，y2相对应的分母哪个大，焦点就在相应的轴上.思考 3 观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解 过程.答案 (1)如图所示，以经过椭圆两焦点 F1，F2的直线为 x 轴，线段 F1F2的垂直平分线为 y轴，建立直角坐标系 xOy.(2)设点：设点 M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为 F1(－c，0)，F2(c，0).(3)列式：依据椭圆的定义式|MF1|＋|MF2|＝2a 列方程，并将其坐标化为＋＝2a.①(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，为使方程简单、对称、便于记忆，引入字母 b，令 b2＝a2－c2，可得椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0).②(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x，y)为坐标的点到椭圆的两个焦点 F1(－c，0)，F2(c，0)的距离之和为 2a，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上.由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程.梳理 (1)椭圆的标准方程的形式焦点位置形状、大小焦点坐标标准方程焦点在 x 轴上形状、大小相同a>b>0，b2＝a2－c2，焦距为 2cF1(－c，0)，F2(c，0)＋＝1(a>b>0)焦点在 y 轴上F1(0，－c)，F2(0，c)＋＝1(a>b>0)(2)方程 Ax2＋By2＝1 表示椭圆的充要条件是 A >0 ， B >0 且 A ≠ B .(3)椭圆方程中参数 a，b，c 之间的关系为 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 .类型一 椭圆标准方程的确定例 1 求焦点在坐标轴上，且经过 A(，－2)和 B(－2，1)两点的椭圆的标准方程.解 方法一 (1)当焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题意有解得故所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题意有解得此时不符合 a>b>0，所以方程组无解.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.方法二 设所求椭圆的方程为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0 且 A≠B)，依题意有解得故所求椭圆的标准方程为＋＝1....
