高中数学 第二章 平面向量 3 第2课时 平面向量基本定理教学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学教学案VIP专享

第 2 课时 平面向量基本定理[核心必知]平面向量基本定理(1)定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：我们把不共线的两个向量 e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．[问题思考]1．零向量可以作为基底的一个向量吗？提示：不能．因为零向量与任何向量都是共线向量．2．平面向量的基底是唯一的吗？提示：不是．平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底，当基底一旦确定后，平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示．3．为什么平面向量基本定理中要求 e1，e2不共线？提示：若 e1∥e2，则 e2＝λe1，a＝λ1e1＋λ2e2＝(λ1＋λλ2)e1故 a∥e1，即用 e1，e2只能表示与之共线的向量．讲一讲1．如果 e1，e2是平面 α 内两个不共线的向量，λ，μ∈R，那么下列说法中不正确的是( )①λe1＋μe2可以表示平面 α 内的所有向量；② 对于平面 α 内任意一个向量 a，使得 a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③ 平面 α 内的任意一个向量 a 都可以分解为 a＝λe1＋μe2的形式，且这种分解是唯一的；④ 若 λe1＝μe2，则 λ＝μ＝0.A．①② B．②③ C．③④ D．②[尝试解答] 由平面向量基本定理知，①，③正确；对于④，若 λe1＝μe2，则 0λe1＋(－μ)e2，因为 e1，e2不共线，所以必有 λ＝μ＝0，④正确；对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故②不正确．[答案] D1．由平面向量基本定理可知：①基底不唯一，一组基底中的两向量不共线；②平面内的任意向量 a 都可在给出的基底下进行分解；③基底给定时 ，分解形式唯一，即 λ，μ 是被a，e1，e2唯一确定的一对实数．2．解决这种概念性问题的关键是深刻理解平面向量基本定理的意义和基底的概念．练一练1．设 e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )A．e1＋e2和 e1－e2B．3e1－4e2和 6e1－8e2C．e1＋2e2和 2e1＋e2D．e1和 e1＋e2解析：选 B 6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，∴3e1－4e2和 6e1－8e2不能作为平面的基底．2．设 e1，e2是平面 α 内的两个不共线的向量，a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)，有下列结论：① 若 a 与 e1共线，则 λ＝0；② 若 a 与 e2共线，则 λ＝0；③ 若 a＝0...