1 椭圆及其标准方程课堂导学三点剖析一、求椭圆的标准方程【例 1】求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一点 P 到两焦点距离的和是 10;(2)两个焦点的坐标是(0,-2)、(0,2),并且椭圆经过点(23, 25 )
解:(1) 椭圆的焦点在 x 轴上,∴设它的标准方程为2222byax=1(a>b>0)
2a=10,2c=8,∴a=5,c=4
∴b2=a2-c2=52-42=9
∴所求椭圆的标准方程为92522yx =1
(2) 椭圆的焦点在 y 轴上,∴设它的标准方程为2222bxay =1(a>b>0)
由椭圆的定义知,2a=22)225()23(+ 22)225()23(=2 10 ,∴a= 10
又 c=2,∴b2=a2-c2=10-4=6
∴所求椭圆的标准方程为61022xy=1
温馨提示 求椭圆的标准方程就是求 a2及 b2(a>b>0),并且判断焦点所在的坐标轴
当焦点在 x 轴上时,椭圆的标准方程为2222byax=1;当焦点在 y 轴上时,椭圆的标准方程为2222bxay =1
二、应用椭圆的定义解题【例 2】一动圆与已知圆 O1：（x+3）2+y2=1 外切与圆 O2：（x-3）2+y2=81 内切，试求动圆圆心的轨迹方程
解析:两定圆的圆心半径分别为O1（-3，0），r1=1；O2（3，0），r2=9设动圆圆心为 M（x，y），半径为 R由题设条件知：|MO1|=1+R，|MO2|=9-R∴|MO1|+|MO2|=10由椭圆的定义知：M 在以 O1，O2为焦点的椭圆上，且 a=5，c=3，1∴b2=a2-c2=25-9=16故动圆圆心的轨迹方程为162522yx =1
温馨提示 两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，据此可以找到动圆圆心满足的条件
