2.2.1 椭圆及其标准方程课堂导学三点剖析一、求椭圆的标准方程【例 1】求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一点 P 到两焦点距离的和是 10;(2)两个焦点的坐标是(0,-2)、(0,2),并且椭圆经过点(23, 25 ).解:(1) 椭圆的焦点在 x 轴上,∴设它的标准方程为2222byax=1(a>b>0). 2a=10,2c=8,∴a=5,c=4.∴b2=a2-c2=52-42=9.∴所求椭圆的标准方程为92522yx =1.(2) 椭圆的焦点在 y 轴上,∴设它的标准方程为2222bxay =1(a>b>0).由椭圆的定义知,2a=22)225()23(+ 22)225()23(=2 10 ,∴a= 10 .又 c=2,∴b2=a2-c2=10-4=6.∴所求椭圆的标准方程为61022xy=1.温馨提示 求椭圆的标准方程就是求 a2及 b2(a>b>0),并且判断焦点所在的坐标轴.当焦点在 x 轴上时,椭圆的标准方程为2222byax=1;当焦点在 y 轴上时,椭圆的标准方程为2222bxay =1.二、应用椭圆的定义解题【例 2】一动圆与已知圆 O1：（x+3）2+y2=1 外切与圆 O2：（x-3）2+y2=81 内切，试求动圆圆心的轨迹方程.解析:两定圆的圆心半径分别为O1（-3，0），r1=1；O2（3，0），r2=9设动圆圆心为 M（x，y），半径为 R由题设条件知：|MO1|=1+R，|MO2|=9-R∴|MO1|+|MO2|=10由椭圆的定义知：M 在以 O1，O2为焦点的椭圆上，且 a=5，c=3，1∴b2=a2-c2=25-9=16故动圆圆心的轨迹方程为162522yx =1.温馨提示 两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，据此可以找到动圆圆心满足的条件.三、利用椭圆的标准方程解题【例 3】 椭圆 5x2+ky2=5 的一个焦点为（0，2）则 k=_____________.解析:将椭圆方程化为标准方程可得 x2+ky52=1，由其中一个焦点为（0，2），知 a2= k5 ，b2=1，且a2-b2=c2即 k5 -1=4 得 k=1.温馨提示 先将椭圆方程化为标准形式，再由其中一个焦点确定 a2，b2，最后通过 a、b、c 之间的关系确定 k 的值.各个击破类题演练 1求经过两点 P1( 31 , 31 ),P2(0,21)的椭圆的标准方程.解法一:因为焦点位置不确定,故应考虑两种情形.(1)焦点在 x 轴上时:设椭圆的方程为22ax+22by=1(a＞b＞0).依题意知.1)21(,1)31()31(222222bba解得41,5122ba. 51 ＜ 41 ,∴方程组无解.(2)焦点在 y 轴上时:设椭圆的方程为22ay+22bx=1(a＞b＞0).2依题意可得.1)21(,1)31()31(222222aba,解得5...
