3．1 双曲线及其标准方程学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．知识点一 双曲线的定义思考 1 如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点 M 处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？ 思考 2 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点 P 的轨迹是什么图形？(1)|－|＝6；(2)－＝6. 梳理 把平面内到两定点 F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．定点 F1，F2叫作________________，两个焦点之间的距离叫作________________．知识点二 双曲线的标准方程思考 1 双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？ 思考 2 如图，类比椭圆中 a，b，c 的意义，你能在 y 轴上找一点 B，使|OB|＝b 吗？1 类型一 双曲线的定义及应用命题角度 1 双曲线中的焦点三角形问题例 1 (1)如图，已知双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，点 A，B 均在双曲线的右支上，线段 AB经过双曲线的右焦点 F2，|AB|＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为________．引申探究本例(2)中若∠F1PF2＝90°，其他条件不变，求△F1PF2的面积．(2)已知双曲线－＝1 的左、右焦点分别是 F1、F2，若双曲线上一点 P 使得∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．反思与感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；② 利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；③ 通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；④ 利用公式 S△PF1F2＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．(2)方法二：利用公式 S△PF1F2＝×|F1F2|×|yP|(yP为 P 点的纵坐标)求得面积．特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a 的变形使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关系．跟踪训练 1 已知 F1，F2为双曲线 C：x2－y2＝2 的左，右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2等于( )A. B. C. D.命题角度 2 由双曲线定义求轨迹方程2例 2 已知在△ABC 中，三边长分别为 a，b，c，B(－1,0)，C(1,0)，求满足 sin C－sin B＝sin A 的顶点...
